Show
Recommended textbook solutions
Algebra and Trigonometry: Structure and Method, Book 21st EditionBrown, Dolciani, Kane, Sorgenfrey 8,446 solutions
Cambridge IGCSE Mathematics: Core and Extended3rd EditionRic Pimentel 1,773 solutions
Algebra and Trigonometry: Structure and Method, Book 21st EditionBrown, Dolciani, Kane, Sorgenfrey 8,446 solutions
Advanced Mathematics: An Incremental Development2nd EditionSaxon 3,750 solutions Poliedros (do latim poli — muitos — e edro — face) são figuras tridimensionais formadas pela união de polígonos regulares, na qual os ângulos poliédricos são todos congruentes. A união desses polígonos forma elementos que compõem o poliedro, são eles: vértices, arestas e faces. No entanto, nem toda figura tridimensional é um poliedro, um exemplo disso são as figuras que possuem faces curvas chamadas de corpos redondos. Existe uma fórmula matemática que relaciona os elementos de um poliedro chamada relação de Euler. Além disso, os poliedros dividem-se em dois grupos: os chamados poliedros convexos e os não convexos. Alguns poliedros merecem uma atenção especial, são os chamados poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Leia também: Diferenças entre figuras planas e espaciais Tópicos deste artigo
Poliedros convexosUm poliedro será convexo quando for formado por polígonos convexos, de forma que as condições a seguir sejam aceitas:
Leia também: Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo Elementos de um poliedro convexoConsidere este poliedro convexo: Os quadriláteros na figura são chamados de faces do poliedro. Os pentágonos são as faces e a base do poliedro, que recebe o nome de poliedro de base pentagonal. Os segmentos que formam cada uma das faces são denominados arestas do poliedro. Os pontos em que as arestas encontram-se são denominados vértices. O segmento de reta JC será denominado diagonal do poliedro, denotada por: JC é uma das diagonais, entendemos diagonal do poliedro como sendo o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Temos também o ângulo poliédrico, formado entre as arestas, denotado por: Um ângulo poliédrico é chamado de triédrico quando três arestas têm origem em um vértice. Da mesma forma, é chamado de tetraédrico, caso quatro arestas tenham origem em um vértice, e assim por diante. Daqui em diante, estabeleceremos algumas notações, são elas: Saiba mais: Planificação de sólidos geométricos Propriedades de um poliedro convexo
Exemplo Um poliedro tem 6 faces quadradas. Vamos determinar a quantidade de arestas. De acordo com a propriedade, basta multiplicar o número de arestas de uma face pela quantidade de faces, e isso é igual ao dobro do número de arestas. Dessa forma:
Exemplo Um poliedro com 5 ângulos tetraédricos e 4 ângulos hexaédricos. Vamos determinar a quantidade de arestas. De maneira análoga ao exemplo anterior, a segunda propriedade diz que a soma das arestas de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas. O número de arestas é dado pelo produto de 5 por 4 e 4 por 6, pois são 5 ângulos tetraédricos e 4 hexaédricos. Assim: Poliedros côncavos (não convexos)Um poliedro é não convexo, ou côncavo, quando tomamos dois pontos em faces distintas e a reta r que contém esses pontos não fica toda contida no poliedro. Perceba que a reta (em azul) não está por completa no poliedro, assim o poliedro (em rosa) é côncavo ou não convexo. Poliedros regularesDizemos que um poliedro é regular quando suas faces são polígonos regulares iguais entre si e com os ângulos poliédricos todos iguais. Veja alguns exemplos: Perceba que todas as suas faces são polígonos regulares. Suas faces são formadas por quadrados e as arestas são todas congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Leia também: O que são polígonos regulares e convexos? Relação de EulerTambém conhecido como teorema de Euler, o resultado foi provado por Leonhard Euler (1707 - 1783) e garante que em todo poliedro convexo fechado é válida a seguinte relação: Poliedros de Platão É chamado de poliedro de Platão todo poliedro que satisfaz as condições seguintes:
É provado que existem somente cinco poliedros regulares e convexos, ou poliedros de Platão, são eles:
O tetraedro possui 4 faces triangulares congruentes e 4 ângulos triédricos congruentes.
O hexaedro possui 6 faces quadrangulares congruentes e 8 ângulos triédricos congruentes.
O octaedro possui 8 faces triangulares congruentes e 6 ângulos tetraédricos congruentes.
O dodecaedro possui 12 faces pentagonais congruentes e 20 ângulos triédricos congruentes.
O icosaedro possui 20 faces triangulares congruentes e 12 ângulos pentaédricos congruentes. Exercícios resolvidos1) (Enem) Uma joia foi lapidada na forma de um poliedro convexo de 32 faces, sendo que 20 dessas são hexaedros e as restantes são pentagonais. Essa joia será um presente para uma senhora que está fazendo aniversário, completando uma idade cujo número é a quantidade de vértices desse poliedro. Essa senhora está completando: a) 90 anos b) 72 anos c) 60 anos d) 56 anos e) 52 anos Solução: Da propriedade 1 de poliedros convexos sabemos que: Agora, como conhecemos o número de arestas e o número de faces, podemos utilizar a relação de Euler. Como a idade que a senhora está completando é igual ao número de vértices, então essa é de 60 anos. Alternativa c. 2) (PUC-SP) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é três quintos do número de faces? a) 60 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15 Solução: Das propriedades de um poliedro convexo e do enunciado do exercício temos que: Substituindo esses valores na relação de Euler, teremos o seguinte: Organizando a equação anterior e resolvendo a equação em F, segue que: Substituindo o valor da quantidade de faces encontrado na equação das arestas, teremos: Alternativa b Por Robson Luiz Quantas arestas tem um poliedro com 6 vértices e 6 faces?Os Sólidos Platônicos. Quantas vértices possui um poliedro de 6 faces quadrangulares?Hexaedro: sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 faces quadrangulares e 12 arestas.
Qual o número de arestas e o número de vértices de um poliedro com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares?Resposta verificada por especialistas
O poliedro possui 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares. Assim, possui um total de 6 + 4 = 10 faces. Portanto o poliedro possui 10 vértices.
Qual o nome do poliedro que tem 6 faces?O hexaedro, também denominado de cubo, é formado por 12 arestas, 8 vértices e 6 faces.
|