Qual a expressão algébrica que representa a área total do retângulo apresente também a sua forma Fatorada?

A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso, a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito.

Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito.

Trinômio

Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3 monômios. Veja alguns exemplos de trinômios:

x3 + 2x2 + 2x

- 2x5 + 5y – 5

ac + c – b

É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito.

Quadrado perfeito

Veja a demonstração do que é um quadrado perfeito:

Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois 62 = 36.
Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais) abaixo com lados x + y. O valor desse lado é uma expressão algébrica.

Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2, então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A1 = (x + y) . (x + y) que é o mesmo que A1 = (x + y)2, então podemos dizer que:

O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito.

2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos, onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A2 = x2 +2xy + y2

O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio.

As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

  A1       =         A2
(x + y)2 = x2 +2xy + y2

Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado fica (x + y)2.

Como já foi dito, nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa identificação:

Quando um trinômio é quadrado perfeito

O quadrado perfeito (x + y)2 é composto por dois fatores (x e y). A resolução dele é um trinômio x2 +2xy + y2. O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.

Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer quadrado perfeito.

Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo um resumo podemos dizer que:

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja alguns exemplos:

Veja se o trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 é um quadrado perfeito. Para isso, siga as regras que foram citadas.

Dois membros do trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 é (3a – 2b)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.

Exemplo:

Dado o trinômio 4x2 – 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2, as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

A fatoração de expressão algébrica consiste em escrever uma expressão algébrica em forma de produto. Em casos práticos, isto é, na solução de alguns problemas que envolvem expressões algébricas, a fatoração é extremamente útil, pois, na maioria das situações, ela simplifica a expressão trabalhada.

Para realizar a fatoração de expressões algébricas, utilizaremos um resultado muito importante na matemática chamado teorema fundamental da aritmética, que afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito na forma de produto de números primos, veja:

121 = 11 · 11

60 = 5 · 4 · 3

Acabamos de fatorar os números 121 e 60.

Leia também: Decomposição de um número em fatores primos

Tópicos deste artigo

Métodos para fatorar expressões algébricas

Agora veremos os principais métodos de fatoração, nos mais utilizados faremos uma breve justificativa geométrica. Veja:

• Fatoração por evidência

Considere o retângulo:

Observe que a área do retângulo azul mais a área do retângulo verde resultam no retângulo maior. Vamos analisar cada uma dessas áreas:

AAZUL = b · x

AVERDE = b · y

AMAIOR = b · (x + y)

Assim, temos que:

AMAIOR = AAZUL + AVERDE

b (x + y) = bx + by

• Exemplos

a) Para fatorar a expressão: 12x + 24y.

Nota-se que 12 é o fator em evidência, uma vez que ele aparece em ambas as parcelas, assim, para determinar os números que vão no interior dos parênteses, basta dividir cada parcela pelo fator em evidência.

12x : 12 = x

24y : 12 = 2y

12x + 24y = 12 · (x + 2y)

b) Para fatorar a expressão 21ab2 – 70a2b.

Do mesmo modo, inicialmente, determina-se o fator em evidência, isto é, o fator que se repete nas parcelas. Veja que da parte numérica temos o 7 como fator comum, uma vez que ele é o único que divide ambos os números. Agora, em relação à parte literal, veja que se repete somente o fator ab, logo, o fator em evidência é: 7ab.

21ab2 – 70a2b = 7ab (3b – 10a)

Leia também: Divisão de polinômios: como fazer?

• Fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento é decorrente da fatoração por evidência, a única diferença é que, em vez de termos um monômio como fator comum ou fator em evidência, teremos um polinômio, veja o exemplo:

Considere a expressão (a + b) · xy + (a + b) · wz2

Observe que o fator comum é o binômio (a + b), logo, a forma fatorada da expressão anterior é:

(a + b) · (xy + wz2)

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• Diferença entre dois quadrados

Considere dois números a e b, quando temos a diferença do quadrado desses números, isto é, a2 – b2, então podemos escrevê-los como sendo o produto da soma pela diferença, ou seja:

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

• Exemplos

a) Para fatorar a expressão x2 – y2.

Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:

x2 – y2 = (x + y) · (x – y)

b) Para fatorar 2.0202 – 2.0192.

Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:

2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)

2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1

2.0202 – 2.0192 = 4.039

• Trinômio do quadrado perfeito

Considere o quadrado seguinte de lado (a + b) e observe as áreas dos quadrados e retângulos formados em seu interior.

Veja que a área do quadrado maior é dada por (a + b)2, mas, por outro lado, a área do quadrado maior pode ser obtida pela soma dos quadrados e retângulos do seu interior, assim:

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

De maneira análoga, temos que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

• Exemplo

Considere a expressão x2 + 12x + 36.

Para fatorar uma expressão desse tipo, basta identificar o coeficiente da variável x e o coeficiente independente, e comparar com a fórmula dada, veja:

x2 + 12x + 36

a2 + 2ab + b2

Fazendo as comparações, veja que x = a, 2b = 12 e b2 = 36; das igualdades, temos que b = 6, assim a expressão fatorada é:

x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

• Trinômio do segundo grau

Considere o trinômio ax2 + bx + c. A sua forma fatorada pode ser encontrada utilizando suas raízes, ou seja, os valores de x que zeram tal expressão. Para determinar os valores que zeram tal expressão, basta resolver a equação ax2 + bx + c = 0 utilizando o método que achar conveniente. Aqui ressaltamos o método mais conhecido: método de Bhaskara.

A forma fatorada do trinômio ax2 + bx + c é:

ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)

• Exemplo

Considere a expressão x2 + x – 20.

O primeiro passo é determinar as raízes da equação x2 + x – 20 = 0.

Assim a forma fatorada da expressão x2 + x – 20 é:

(x – 4) · (x + 5)

• Cubo da diferença entre dois números

O cubo da diferença entre dois números a e b é dado por:

(a – b)3 = (a – b) · (a – b)2
(a – b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)

• Cubo da soma de dois números

De maneira análoga, temos que (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , logo:

(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Cefet-MG) Sendo o número n = 6842 – 6832, a soma dos algarismos de n é:

a) 14

b) 15

c) 16

d) 17

e) 18

Resolução

Alternativa d. Para determinar a soma dos algarismos de n, inicialmente fatorarmos a expressão, uma vez que calcular os quadrados e, em seguida, realizar a subtração geram trabalho desnecessário. Fatorando a expressão utilizando a diferença entre dois quadrados, temos:

n = 6842 – 6832

n = (684 + 683) · (684 – 683)

n = 1.367 · 1

n = 1.367

Portanto, a soma dos algarismos de n é dada por 1 + 3 + 6 + 7 = 17

Questão 2 – (Insper-SP modificada) Determine o valor da expressão:

Resolução

Com a intenção de facilitar a notação, vamos nomear a = 2.009 e b = 2. Lembre-se de que 22 = 4, assim temos que:

Veja que, no numerador da fração, temos a diferença entre dois quadrados, logo, podemos escrever a2 – b2 = (a + b) (a – b). Logo:

Qual é a expressão algébrica que representa a área total de um retângulo?

Qual é a expressão algébrica que representa a área total do retângulo apresente também sua forma Fatorada?

Qual é a expressão algébrica que representa a área total?

Qual é a expressão algébrica que representa a área total do retângulo Brainly?