A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso, a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito. Show
Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito. Trinômio Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3 monômios. Veja alguns exemplos de trinômios: x3 + 2x2 + 2x - 2x5 + 5y – 5 ac + c – b É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito. Quadrado perfeito Veja a demonstração do que é um quadrado perfeito: Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois 62 = 36.
Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes: 1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2, então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado. A1 = (x + y) . (x + y) que é o mesmo que A1 = (x + y)2, então podemos dizer que: O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito. 2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos, onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim: A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los A2 = x2 +2xy + y2 O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio. As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então: A1 =
A2 Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2. Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja: O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado fica (x + y)2. Como já foi dito, nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa identificação: Quando um trinômio é quadrado perfeito O quadrado perfeito (x + y)2 é composto por dois fatores (x e y). A resolução dele é um trinômio x2 +2xy + y2. O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo. Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer quadrado perfeito. Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo um resumo podemos dizer que: Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características: • Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados. Veja alguns exemplos: Veja se o trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 é um quadrado perfeito. Para isso, siga as regras que foram citadas.
Dois membros do trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio é quadrado perfeito. Então, a forma fatorada do trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 é (3a – 2b)2, pois é a soma das raízes ao quadrado. Exemplo: Dado o trinômio 4x2 – 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2, as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) As expressões algébricas são aquelas expressões matemáticas que possuem números e letras, também conhecidas como variáveis. Utilizamos as letras para representar valores desconhecidos ou até mesmo para analisar o comportamento da expressão de acordo com o valor dessa variável. As expressões algébricas são bastante comuns no estudo das equações e na escrita de fórmulas da Matemática e áreas afins. Caso a expressão algébrica possua um único termo algébrico, ela é conhecida como monômio; quando possui mais de um, é chamada de polinômio. É possível também calcular operações algébricas, que são as operações entre expressões algébricas. Leia também: Frações algébricas – expressões que apresentam pelo menos uma incógnita no denominador Tópicos deste artigo
O que é uma expressão algébrica?Expressões algébricas são compostas por letras e números.Definimos como expressão algébrica uma expressão que contém letras e números, separados por operações básicas da Matemática, como a adição e a multiplicação. As expressões algébricas são de grande importância para o estudo mais avançado da Matemática, tornando possível o cálculo de valores desconhecidos nas equações ou até mesmo o estudo de funções. Vejamos alguns exemplos de expressões algébricas: a) 2x²b + 4ay² + 2 As expressões algébricas recebem nomes particulares dependendo da quantidade de termos algébricos que possuem. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) MonômiosUma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui somente um termo algébrico. Um termo algébrico é aquele que possui letras e números separados apenas por uma multiplicação entre eles. Um monômio é dividido em duas partes: o coeficiente, que é o número que está multiplicando a letra, e a parte literal, que é a variável com o seu expoente. Exemplos: a) 2x³ → coeficiente é igual a 2 e a parte literal é igual a x³. Quando as partes literais de dois monômios são iguais, eles são conhecidos como monômios semelhantes. Exemplos: a) 2x³ e 4x³ são semelhantes. Veja também: Adição e subtração de frações algébricas – como calcular? PolinômiosQuando a expressão algébrica possui muitos termos algébricos, ela é conhecida como polinômio. Um polinômio nada mais é do que a soma ou a diferença entre monômios. É bastante comum o uso de polinômios no estudo de equações e funções, ou na geometria analítica, para descrever as equações de elementos da geometria. Exemplos: a)\(2x² + 2x + 3\) Simplificação de expressões algébricasEm uma expressão algébrica, quando há termos semelhantes, é possível realizar a simplificação dessa expressão por meio de operações com os coeficientes dos termos semelhantes. Exemplo: 5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 4x²y + y Para simplificar, vamos identificar os termos semelhantes, ou seja, termos que possuem mesma parte literal. 5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 5x²y Realizaremos as operações entre os termos semelhantes, então: 5xy² + 9xy² = 14xy² 10x + 5x = 15x -3xy – 3xy = -6xy 4x²y -5x²y = -1x²y= -x²y O termo -2x²y² não possui nenhum termo semelhante a ele, logo a expressão algébrica simplificada será: -2x²y² + 14xy² + 15x – 6xy -x²y Operações algébricasRealizar adição ou subtração de expressões algébricas nada mais é do que simplificar a expressão, portanto só é possível operar com os termos algébricos que são semelhantes. Já na multiplicação, é necessário utilizar a propriedade distributiva entre os termos, conforme os exemplos a seguir: Exemplo de adição: (2x² + 3xy – 5) + (3x² – xy + 2) Como é uma adição, podemos simplesmente remover os parênteses, sem alterar nenhum dos termos: 2x² + 3xy – 5 + 3x² – xy + 2 Agora vamos simplificar a expressão: 5x² +2xy – 3 Exemplo de subtração: (2x² + 3xy – 5) – (3x² – xy + 2) Para remover os parênteses, é necessário inverter o sinal de cada termo algébrico da segunda expressão: 2x² + 3xy – 5 –3x² + xy – 2 Agora vamos simplificar a expressão: – x² + 4xy – 7 Exemplo de multiplicação: (2x² + 3xy – 5) ( 3x² – xy + 2) Aplicando a propriedade distributiva, encontraremos: 6x4 – 2x³y + 4x² + 9x³y – 3x²y² +6xy – 15x² – 5xy + 10 Agora vamos simplificar a expressão: 6x4 + 7x³y – 11x² –3x²y² + xy + 10 Acesse também: Como fazer a simplificação de frações algébricas? Valor numérico das expressões algébricasQuando conhecemos o valor da variável de uma expressão algébrica, é possível encontrar o seu valor numérico. O valor numérico da expressão algébrica nada mais é do que o resultado final quando substituímos a variável por um valor. Exemplo: Dada a expressão x³ + 4x² + 3x – 5, qual é o valor numérico da expressão quando x = 2. Para calcular o valor da expressão, vamos substituir o x por 2. 2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5 8 + 4 · 4 + 6 – 5 8 + 16 + 6 – 5 30 – 5 25 Exercícios resolvidosQuestão 1 – A expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo a seguir é: A) 5x – 5 Resolução Alternativa B. Para calcular o perímetro, vamos somar os quatro lados. Sabendo que os lados paralelos são iguais, temos que: P = 2(2x – 4) + 2 (3x – 1) P = 4x – 8 + 6x – 2 P = 10x – 10 Questão 2 – (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: A) 2xy Resolução Alternativa E. Para calcular a área de um retângulo, calculamos a área encontrando o produto entre a base e a altura do retângulo. Analisando a parte perdida do forro, é possível dividi-la em dois retângulos, mas existe uma região que pertence aos dois retângulos, logo vamos ter que subtrair a área dessa região. O retângulo maior tem base 5 e altura y, logo sua área é dada por 5y. O outro triângulo possui base x e altura 3, então sua área é dada por 3x. A região que pertence aos dois retângulos simultaneamente tem base x e altura y, então, como ela está sendo contada nos dois retângulos, vamos subtraí-la da soma das áreas. Assim, a área perdida é dada pela expressão algébrica: 5y + 3x – xy Por Raul Rodrigues Oliveira Qual expressão algébrica representa a área do quadrado?1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2, então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado. A1 = (x + y) .
Qual a expressão representa a área maior do quadrado encontrado?Resposta. Resposta: A área do quadrado corresponde ao tamanho da superfície dessa figura.
Qual expressão algébrica representa a área?Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7 cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L2. Assim, se L=7 cm, então A=7×7=49cm2.
Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do retângulo?Para calcular a área do retângulo, basta calcular o produto entre a sua base e a sua altura, ou seja, a área é dada pela fórmula A=b⋅h.
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