O que é uma ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem a necessidade de enumerar elementos?

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• É uma ferramenta básica para resolver problemas de contagem?
• O que estuda a teoria das probabilidades?
• Qual é a medida da chance de um evento ocorrer ou não?

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Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim 
 
2
 
APRESENTAÇÃO 
 Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você 
encontrará o conteúdo da programação da 3ª série do Ensino Médio (2º 
Grau). 
Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para 
resolver os exercícios. 
As dúvidas que surgirem deverão ser esclarecidas com o Orientador 
de Aprendizagem na Sala de Matemática. 
Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua 
responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor. 
Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las 
procuramos elaborar esta apostila de maneira simples e objetiva com uma 
metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é 
levado a construir seu conhecimento gradativamente. 
No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos 
que serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, 
tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. 
Não escreva na apostila, use seu caderno! 
META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM 
“Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, 
adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes 
transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor 
daquilo que vêem e pensam”. 
OBJETIVOS (Módulo 13 e 14 ) 
Nesta U.E. você será capaz de; 
- Fazer uso das operações de permutação,combinação e probabilidade; 
- Reconhecer a importância do plano cartesiano no estudo da equação 
da reta e sua aplicação na vida cotidiana; 
 
3
 
MÓDULO 13 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está 
diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do 
número de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades 
matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos 
de um conjunto, enumerando seus elementos. 
As operações de adição e multiplicação são exemplos de “ 
técnicas” matemáticas utilizadas também para a determinação de uma 
quantidade. A primeira ( adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades 
conhecidas; e a segunda ( multiplicação) é normalmente aprendida como 
uma forma eficaz de substituir adições de parcelas iguais. 
Exemplo : 4 + 4 +4 + 4 +4 = 20 corresponde a 5 . 4 = 20 
A multiplicação também é base de um raciocínio muito importante em 
Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo 
constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que 
seja necessário enumerar seus elementos ( como veremos nos exemplos). 
Esse princípio estabelece o número de maneiras distintas( diferentes ) de 
ocorrer um evento. 
Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise 
combinatória. 
A partir deste módulo, você vai aprofundar o estudo dessa 
parte da Matemática. 
EXEMPLO 1 
Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, 
separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se 
arrumar. 
 
4
 
Assim, Maria dispõem de 3 x 2 = 6 maneiras ou possibilidades 
diferentes de se vestir. 
EXEMPLO 2 
Natália vai viajar de São Paulo a Salvador, passando pelo Rio de 
Janeiro. De São Paulo ao Rio de Janeiro ela pode ir de carro, de avião ou de 
ônibus; do Rio de Janeiro a Salvador ela pode ir de avião ou ônibus. De 
quantas maneiras diferentes ela pode fazer a viagem? 
Solução: 
Aplicando o princípio fundamental da multiplicação, temos: 
3 . 2 = 6 possibilidades. 
EXEMPLO 3 
Quantos números naturais de dois algarismos diferentes podemos 
formar usando 6,7,8 e 9? 
Solução: 
Veja o diagrama de árvore abaixo, indicando todas as possibilidades: 
São Paulo Rio de Janeiro Salvador 
avião 
carro 
ônibus 
Avião
 
ônibus
 
três possibilidades duas possibilidades 
6
 
7
 
8
 
9
 
7
 
8
 
9
 
6
8
9 
6
7
9 
6
7
8 
67 
68 
69 
76 
78 
79 
86 
87 
89 
96 
97 
98 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
(9) 
(10) 
(11) 
(12)
 
Você não precisa fazer essa contagem 
basta aplicar o princípio fundamental da 
multiplicação. Você tem quatro 
algarismos e três possibilidades de 
combinação para cada um deles, portanto:
 
4 . 3 = 12 possibilidades 
 
5
 
EXEMPLO 4 
Quantos números naturais de dois algarismos podem ser formados 
com os algarismos 5,6,7 e 8 ? 
Solução: 
Nesse caso, como não foi exigido que os algarismos sejam 
diferentes, existem 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e quatro 
para o das unidades. Logo, aplicamos o princípio fundamental da 
multiplicação: 
4 . 4 = 16 
EXEMPLO 5 
De quantas maneiras diferentes é possível pintar a figura abaixo, 
cobrindo os retângulos de preto ou vermelho? 
Solução: 
Cada retângulo terá duas possibilidades : preto ou vermelho. Logo o 
número total de possibilidades é, pelo princípio fundamental de 
multiplicação : 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 26 = 64 
EXEMPLO 6 
As placas de automóveis eram todas formadas por duas letras ( 
inclusive K,Y e W ) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia as placas dos 
carros estão sendo todas trocadas e passaram a ter três letras seguidas e 4 
algarismos. Quantas placas de cada tipo podemos formar? 
Algarismos das dezenas
 
Algarismos das 
unidades
 
 
6
 
Solução : 
 No primeiro caso, escolhendo uma letra 
 como exemplo: 
Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras (total de 
letras ) e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é: 
 26.26.10.10.10.10 = 6 760 000 
No segundo caso 
 26.26.26.10.10.10.10 = 26 . 6 760 000 = 175 760 000 
A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma 
variedade 26 vezes maior. A diferença é de 169 000 000 , ou seja, 169 
milhões de placas diferentes a mais do que anteriormente. 
CURIOSIDADES DA LOTECA 
 
Ao apostar na Loteria 
Esportiva você quer acertar os 13 
jogos, evidentemente. Mas não é tão 
fácil assim. 
A certeza em acertar todos os 
jogos seria apostar “ triplo “ nos 
13 jogos, o que você não pode fazer. 
Ao fazer isto, faria 313 = 1 594 323 
apostas ( lembre-se que 313 = 
3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3 ) e a probabilidade de acertar seria igual a 1. 
L L N N N N
 
Não esqueça: 
São 26 letras 
do alfabeto e 
10 algarismos. 
L L L N N N N 
 
7
 
Exercícios: 
1) Andréa tem 4 blusas, 3 calças e 4 pares de tênis. De quantas 
maneiras diferentes ela pode combinar as 3 peças? 
2) O cardápio de um restaurante oferece: dois tipos de salada, dez de 
pratos quentes, cinco de bebida e 3 de sobremesa. Quantos pedidos 
diferentes é possível fazer, escolhendo um item de cada? 
3) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 
outras ligando B a C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. 
Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem? 
AS PERMUTAÇÕES 
Nesta aula você estudará um tipo muito comum de problemas de 
contagem que está relacionado com as várias formas de organizar ou 
arrumar os elementos de um conjunto. 
Organizar tais elementos é uma atividade cotidiana que inclui várias 
possibilidades, sendo que cada pessoa adota uma estratégia. No entanto, 
muitas vezes precisamos saber quantas maneiras podemos arrumar um 
conjunto de elementos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o 
número total de possibilidades. 
Consultando um dicionário

É uma ferramenta básica para resolver problemas de contagem?

O que estuda a teoria das probabilidades?

Qual é a medida da chance de um evento ocorrer ou não?