O que acontece com o resultado quando multiplicamos um número qualquer por um é quando multiplicamos por 0 Converse com o professor é seus colegas?

7 Calcule mentalmente o resultado em cada caso. a) 7 Calcule mentalmente o resultado em cada caso. a - Gauthmath c) 654\times 0=\underline {} e) 365\times 0=\underline {} b) 1050\times 1=\underline {} d) 654\times 1=\underline {} f) 365\times 1=\underline {} # O que acontece com o resultado quando multiplicamos um número qualquer por 1? E quando multiplicamos por zero? Converse com o professor e seus colegas. 8 Amanda está construindo um jogo de tabuleiro. Em algumas casas desse jogo, o jogador deverá multiplicar os pontos obtidos por determinado número. Se um jogador tiver, por exemplo, 2 pontos e cair em uma casa com o comando “multiplicar por 2^{n} , seus pontos passarão a ser iguals a 4. pois 2\times 2=4 a) Amanda quer que em uma dessas casas os pontos obtidos sejam transformados em zero. Qual deverá ser o comando para isso acontecer? _ b) E para que os pontos permaneçam o mesmo, qual deverá ser o comando? _ _ Guando multiplicamos qualquer número por zero, o resultado è sempre Quando calculamos zero. Dizemos que zero um número vezes1 éo elemento nulo da ou fazemos 1 vezes o multiplicação. número, o resultado é o próprio número. elemento neutro da Dizemos que1éo multiplicação. noventa e cinco 95

O que acontece quando dividimos um número por zero?

Você já teve a curiosidade de perguntar ao professor se seria possível dividir algum número por zero? Pois bem, eu perguntei para a calculadora do meu computador, veja só o que ela me disse:

Isso não é por acaso, existe uma explicação bem fácil e que todos vão entender. Para isso, temos que relembrar como fazemos para dividir um número.

Para realizar uma divisão qualquer, você busca um valor para o quociente de forma que ao multiplicar este valor pelo número do divisor, o resultado seja igual ou bem próximo do valor do dividendo. No nosso exemplo utilizamos o número 25 no dividendo e o número 0 no divisor, afinal queremos estudar a divisão por zero.

Seria possível encontrar algum número, qualquer número que seja, que quando você multiplicar pelo divisor zero dê o resultado do dividendo?

Vamos relembrar o que estudamos na multiplicação. Qual é o resultado de qualquer número que você multiplique por zero? A resposta é zero, certo? Exemplo: 3×0=0; 4×0=0.

Por causa disto não é possível dividirmos nenhum número por zero, pois nunca vamos encontrar um valor para o quociente de forma que se aproxime do dividendo. O resultado do quociente multiplicado pelo divisor (zero) será sempre zero e a divisão nunca terminará, veja como seria, caso escolhêssemos o número 3 para ser o nosso quociente.

De hoje em diante você poderá justificar o porquê de não existir a divisão pelo número zero e sempre que você se deparar com uma questão na qual apareça o denominador (divisor) zero, você saberá respondê-la sem fazer cálculos!

Compartilhe essa informação que você obteve com os seus colegas e amigos da escola!

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Escola Kids

Adição e multiplicação são operações matemáticas que apresentam algumas propriedades pouco exploradas no Ensino Fundamental e Médio. Elas podem contribuir de maneira significativa para o cálculo mental e agilizar as resoluções de diversos exercícios. A seguir mostraremos algumas dessas propriedades e daremos dicas de como utilizá-las.

• Associatividade

Sejam a, b e c números reais quaisquer, a propriedade associativa da adição é a seguinte:

(a + b) + c = a + (b + c)

A propriedade associativa da multiplicação é a seguinte:

(a·b)·c = a·(b·c)

Em outras palavras, em uma “cadeia de adições”, tanto faz o número que será somado primeiro. O resultado final será igual. Observe o exemplo abaixo:

24 + 13 + 7

Utilizando a propriedade acima, teremos o seguinte:

(24 + 13) + 7 = 24 + (13 + 7) = 24 + 20 = 44

• Comutatividade

Sejam a e b números reais quaisquer, a propriedade comutativa da adição é a seguinte:

a + b = b + a

E a propriedade comutativa da multiplicação é a seguinte:

a·b = b·a

Em outras palavras, essa propriedade garante que o resultado de uma multiplicação ou de uma soma será o mesmo independentemente da ordem dos fatores. Por exemplo:

32·60 = 60·32 = 1920

• Comutatividade + associatividade = cálculo mental

Se as duas propriedades acima forem combinadas, especialmente para a adição, é possível calcular algumas expressões numéricas de maneira muito mais fácil. Observe o exemplo:

22 – 5 + 7 + 18 – 5 + 24 + 13

Pela comutatividade, podemos reescrever a expressão acima da seguinte maneira:

22+ 18 + 13 + 7 + 24 – 5 – 5

Já pela associatividade, podemos escolher a ordem de adição que torna os cálculos acima mais fáceis. Veja um exemplo:

(22+ 18) + (13 + 7) + (24 – 5 – 5)

40 + 20 + (24 – 5 – 5)

Observe que podemos usar a propriedade associativa mais uma vez nos números que já estão dentro dos parênteses. Somaremos os números negativos primeiro, depois diminuiremos o resultado de 24:

40 + 20 + (24 – 5 – 5)

40 + 20 + (24 – 10)

40 + 20 + 14

60 + 14

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• Multiplicação por potências ou múltiplos de 10

As potências de 10 são 10, 100, 1000, … que podem ser escritos na forma: 101, 102, 103, …

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Não é necessário realizar todo o processo do algoritmo da multiplicação quando ela envolver um desses números. Para realizar essa multiplicação, coloque no final do outro fator a quantidade de zeros (ou o expoente da potência de 10) que o multiplica. Por exemplo:

125·10000 = 1250000

Basta adicionar quatro zeros após o 125. Esse será o resultado da multiplicação acima.

Quando a multiplicação envolve múltiplos de 10, o procedimento é parecido, mas depende de um passo inicial.

Conte quantos zeros os múltiplos de 10 possuem e multiplique apenas sua parte inicial, que possui outros algarismos. Os zeros que foram contados devem ser colocados ao final desse resultado parcial, como no exemplo seguinte:

432000·50500

Observe que, para esse cálculo, só devem ser “separados” os zeros que aparecem após o último algarismo não nulo do número. Nesse exemplo, eles estão destacados em vermelho.

Faça a multiplicação a seguir e coloque 5 zeros no final do resultado parcial.

432·505 = 21816000000

Esse será o resultado da multiplicação solicitada no início.

• Propriedade distributiva

Dados os números reais a, b e c, a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição diz o seguinte:

a(b+ c) = a·b + a·c

Essa propriedade pode ser usada da seguinte maneira:

Caso seja necessário realizar uma multiplicação de dois fatores, é possível decompor um dos fatores em uma soma, multiplicar separadamente e somar os resultados depois. Observe o exemplo abaixo:

432·50 =

(400 + 30 + 2)·50 =

400·50 + 30·50 + 2·50 =

Utilizando a multiplicação por múltiplos de 10, podemos afirmar que 400·50 = 4·5(000) = 20000. Esses cálculos podem ser feitos mentalmente com tranquilidade. Basta multiplicar 4 por 5 e adicionar 3 zeros ao resultado. Desse modo, 30·50 = 1500 e 2·50 = 100. Logo:

400·50 + 30·50 + 2·50 =

20000 + 1500 + 100 =

21600

Essa última adição também pode ser feita mentalmente com tranquilidade.

As outras duas propriedades da multiplicação e da adição estão ligadas à existência de elemento neutro e à existência de elemento inverso, entretanto, elas não contribuem de maneira significativa ao cálculo mental. Mais informações sobre elas podem ser encontradas no texto “Propriedades da multiplicação dos números inteiros”.

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