Considere a palavra número. quantos são os anagramas que começam e terminam por consoante?

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• Quantos são os anagramas que começam é terminam por consoante?
• Quantos são os anagramas que terminam com consoante?
• Quantos começam por consoante?
• Quantos anagramas começam com consoante ou terminam com vogal?

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propriedade importante é o fato de poder
escrever qualquer número fatorial em função do fatorial de
um de seus antecessores, por exemplo:
6! = 6×5×4×3×2×1 = 720
mas, poderíamos escrever 6! como sendo:
6! = 6×5! = 6×5×4! = 6×5×4×3! = ...= 720
ou seja, é possível interromper o desenvolvimento do
fatorial a qualquer momento, para isso basta que o último
elemento escrito seja colocado na forma fatorial.
Essa propriedade é útil para realizar divisões entre
números fatoriais, por exemplo:
pois o 6! do denominador cancela com o do numerador. De
uma forma geral, em divisões entre fatoriais, deve-se
desenvolver o maior deles até se chegar no menor, poden-
do, então, simplificar a divisão.
Observação: , não se pode simplificar os
números fatoriais, é necessário desenvolvê-los primeiro,
assim:
que é completamente diferente de 2! = 2.
Exemplos: Determine o valor das expressões abaixo:
a)
b)
c)
(lembrar que: 0! = 1)
d)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
NÚMEROS FATORIAIS
Efetue os fatoriais abaixo:
1) 7!
2) 1! + 2! + 3!
3) 1! – 0!
4)
5) 1! – 2!
6)
7)
8)
9)
10)
RESPOSTAS
1) 5.040
2) 9
3) 0
4) 1
5) –1
6) 5.040
7) 4
8) 
9) 560
10) 728
PERMUTAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA
INTRODUÇÃO
Entende-se por permutação simples as permutações
onde os elementos a serem permutados são distintos; por
exemplo, se fossemos determinar o número de anagramas
da palavra COMEDIA (assentos serão ignorados para os
anagramas), utilizaremos a permutação simples, pois
nenhuma letra se repete. Já no caso da palavra BANANA,
não poderíamos utilizar tal técnica, pois as letras A e N
aparecem mais de uma vez, para esse tipo de cálculo,
deve-se utilizar a permutação composta, que será discutida
posteriormente.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Para discutirmos os conceitos envolvidos na permuta-
ção simples, vamos calcular o número de anagramas da
palavra GARFO.
Primeiramente, deve-se atentar que não há nenhuma
letra (elemento) repetido, logo a permutação será simples.
A palavra GARFO é formada por 5 letras, assim
devemos executar a permutação de 5 elementos. Esquema-
ticamente, tem-se: 
onde cada bloco significa uma letra.
No primeiro bloco, pode-se colocar qualquer uma das
5 letras (G, A, R, F, O), porém para o segundo bloco restam
apenas 4 possibilidades, pois uma letra já foi utilizada no
primeiro bloco; para o terceiro sobram apenas 3 letras (as
cinco possíveis menos as duas já utilizadas nos blocos
anteriores), similarmente, para o quarto bloco tem-se duas
possibilidades e no quinto apenas uma. Esse raciocínio
pode ser diagramado como:
Utilizando o princípio multiplicativo, o número de
anagramas será:
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Analisando o resultado obtido para o número de
anagramas da palavra GARFO, percebe-se que o número de
permutações possíveis é igual a 5!, e cinco é exatamente o
número de letras da palavra GARFO, assim pode-se
enunciar o método de calcular as permutações simples.
O número de permutações de um conjunto de n elemen-
tos distintos é dado por n!
Matematicamente, tem-se:
Então, para determinarmos o número de anagramas
da palavra GARFO, bastava:
1) Identificar que GARFO possui 5 letras distintas.
2) Utilizar a permutação simples: P5 = 5! = 120
Vejamos um exemplo:
Exemplo: Considere a palavra COMEDIA.
a) Quantos anagramas podemos forma?
b) Quantos anagramas começam com consoante?
c) Quantos anagramas começam e terminam com
vogal?
d) Em quantos anagramas, as letras C M D estão juntas
e nessa ordem?
e) Em quantos anagramas, as letras C M D aparecem
juntas?
Resolução:
a) Como não há repetições de letras na palavra COME-
DIA, para determinar o número de anagramas basta
calcular 7!, pois essa palavra possui sete letras.
P7 = 7! = 5.040
A palavra COMEDIA possui 5.040 anagramas.
b) Há 3 possibilidades para começar com consoante (C,
M e D), assim podemos, esquematicamente, repre-
sentar:
Para cada consoante escolhida para a primeira casa,
as 6 letras restantes permutam-se nas 6 casas que
sobram.
Assim, o número de anagramas que começam com
consoante é
3 × P6 = 3 × 6! = 2.160
c) Há 4 possibilidades para começar com vogal (O, E, I
e A) e 3 para terminar, pois deve-se subtrair a vogal
utilizada no início do anagrama, então:
Para cada vogal escolhida para a primeira e última
casa, as 5 letras restantes permutam-se nas 5 casas
que sobram.
Assim, o número de anagramas que começam e
terminam por vogal é:
4 × P5 × 3 = 4 × 5! × 3 = 1.440
d) As consoantes juntas e na ordem C M D funcionam
como se fossem um única letra, por exemplo:
 etc.
Assim, o número de anagramas que possuem as
letras C M D juntas e nessa ordem é dado pela permu-
tação de 5 elementos:
P5 = 5! = 120
e) Para cada anagrama em que as letras C M D apare-
cem juntas e nessa ordem, pode-se permutar essas
3 consoantes entre elas:
 etc.
O número de permutações de 3 elementos é 3! = 6.
Como existem 120 anagramas em que as letras C M
D aparecem juntas e nessa ordem, o número de
anagramas em que elas somente aparecem juntas
será: 120 × 6 = 720.
Obs. Situações como essa sempre são resolvidas
multiplicando a permutação dos blocos (nesse caso,
são 5) pela permutação interna do bloco em que o
conjunto das letras está, assim:
P5 × P3 = 5! × 3! = 120 × 6 = 720
onde: P5 representa a permutação dos blocos;
e
P3 a permutação interna do bloco que
possui as três letras (C M D)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
PERMUTAÇÃO SIMPLES
1) Três cavalos disputam um páreo. Qual o número de
resultados possíveis? (não são permitidos empates)
2) Quantos anagramas têm a palavra PALCO?
3) De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar em 6
cadeiras alinhadas?
Para os exercícios de 4 a 10, utilizar a palavra LOGICAS
4) Quantos anagramas possuem essa palavra?
5) Quantos anagramas começam com uma consoante?
6) Quantos anagramas terminam com uma vogal?
7) Quantos anagramas começam com uma vogal e
terminam com uma consoante?
8) Em quantos anagramas as vogais e as consoantes
aparecem juntas?
9) Em quantos anagramas as letras GI estão juntas e
nessa ordem?
10) Em quantos anagramas as letras GI estão juntas ?
RESPOSTAS
1) 6
2) 120
3) 720
4) 5.040
5) 2.880
6) 2.160
7) 1.440
8) 288
9) 720
10) 1.440
PERMUTAÇÃO COMPOSTA
Esse tipo de permutação se aplica quando o sistema
estudado possui elementos repetidos; por exemplo, a
palavra OVO possui três letras, porém duas delas são
iguais (O), o que significa que se trocarmos o primeiro O
com o último não alteraremos absolutamente nada; não
gerando um anagrama distinto. O número de anagramas
dessa palavra não é P3 = 3! = 6, e sim 3 como podemos ver
abaixo:
{OVO – OOV - VOO}
Outro exemplo, é a palavra ASAS que, também, não
possui P4 = 4! = 24, e sim 6 anagramas apenas, são eles:
{ASAS – AASS – SASA – ASSA – SAAS - SSAA}
Esses são exemplos típicos de permutações compos-
tas.
Para calcular o número de anagramas para situações
com elementos repetidos, deve-se, primeiramente, identifi-
car quais são os elementos que se repetem, a seguir,
determinar quantas vezes eles se repetem e, finalmente,
dividir a permutação dos elementos pela permutação das
repetições.
Para o caso da palavra OVO, a letra que se repete é O
e ela faz isso duas vezes, assim o número de anagramas é:
o 2! do denominador é devido a repetição da letra O.
Para a palavra ASAS, tem-se duas letras se repetindo
e cada uma delas faz isso duas vezes, assim:
o primeiro 2! do denominado é relativo a repetição da letra
A e o segundo referente a letra S.
Matematicamente, a permutação compostas de n
elementos é definida como:
Onde, a, b, c... é o número de vezes que cada
elemento se repete.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Quantos anagramas possui a palavra
BANANA?
Resolução: Essa palavra possui 6 letras, dentre elas
duas se repetem. A que se repete 3 vezes e N que se repete
2 vezes, assim o número de anagramas será dado por:
Pode-se escrever 60 anagramas com a palavra
BANANA.
Exemplo 2: Considere a palavra CONCURSOS.
a) Quantos anagramas podem ser formados?
b) Quantos anagramas começam com a letra C?
Resolução:
a) Essa palavra possui 9 letras,

Quantos são os anagramas que começam é terminam por consoante?

Quantos são os anagramas que terminam com consoante?

Quantos começam por consoante?

Quantos anagramas começam com consoante ou terminam com vogal?