Polígonos regulares são aqueles que possuem lados e ângulos internos congruentes. Para calcular a área desse tipo de polígono, é possível usar uma fórmula que relaciona a medida de seu apótema e lado com a medida da área. A demonstração dessa fórmula é uma alternativa para esse cálculo, uma vez que se pode obter também a área de um polígono regular qualquer por meio dela. Show A seguir, demonstraremos a fórmula para calcular a área do polígono regular e apresentaremos um exemplo resolvido desse cálculo. Área do polígono regular A área de um polígono regular pode ser obtida pela seguinte fórmula: A = P·a Na qual, A é a área do polígono, P é o perímetro e a é o apótema desse polígono. Se essa fórmula for reorganizada, podemos dizer que a área do polígono regular é igual à metade do perímetro – também chamada semiperímetro – multiplicada pelo apótema. Assim, essa fórmula pode ser interpretada da seguinte maneira: A área do polígono regular é igual ao produto do semiperímetro desse polígono pela medida de seu apótema. Demonstração da fórmula Dado um polígono regular de lado l e que possui n lados, encontre seu centro P e construa os segmentos que ligam cada um de seus vértices a esse ponto. Para tanto, basta construir as mediatrizes de dois lados quaisquer. Essas retas encontrar-se-ão no centro do polígono. A imagem a seguir representa uma parte de um polígono que possui n lados e que cada um desses lados tem medida representada pela letra l. Nesse polígono, foram formados n triângulos e todos eles são isósceles e congruentes. Para ter certeza disso, basta construir a circunferência que circunscreve esse polígono e notar que todos os segmentos construídos são raios dela e, por isso, possuem a mesma medida. Além disso, todos os ângulos centrais formados são congruentes e medem 360°/n. Como os triângulos são congruentes, para calcular a área do polígono, basta calcular a área de um dos triângulos e multiplicar esse resultado por n, que é tanto o número de lados do polígono como o número de triângulos obtidos. Portanto, calcularemos a área do triângulo ABP. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) O apótema é um segmento de reta que liga o centro de um polígono ao ponto médio de um de seus lados. Como o triângulo ABP é isósceles, o apótema também é altura e bissetriz nesse triângulo. Sendo assim, base e altura desse triângulo já são conhecidos: respectivamente, lado do polígono e apótema do triângulo. A área do triângulo ABP, portanto, é: At = l·a E, como dito anteriormente, a área do polígono é igual a n vezes a área do triângulo ABP: A = n·At = n·l·a Note apenas que o número de lados multiplicado pelo comprimento dos lados é igual ao perímetro P do polígono. Assim, podemos substituir n·l por P: A = P·a Exemplo: Um eneágono regular tem lado igual a 6 centímetros. Qual a medida de sua área? Solução: O perímetro desse polígono é igual a 6·9 = 54 cm. Em seguida, será necessário encontrar a medida do apótema desse polígono. Para isso, faremos a mesma construção anterior em um eneágono: Construindo o apótema que divide o lado AB em duas partes iguais e que também é altura e bissetriz, teremos o triângulo retângulo OKB. Observe que o ângulo AÔB é igual a 360°/9, pois o eneágono é regular. 360° = 40° Observe também que o apótema é bissetriz desse ângulo. Assim, β = 20°. Para descobrir o comprimento do apótema a, basta calcular a tangente de β nesse triângulo. tg β = 3 tg 20° = 3 No texto Tabelas de razões trigonométricas, há uma aproximação de tg 20° = 0,364. Substituindo esse valor na fórmula, teremos: 0,364 = 3 a = 3 a = 8,24 cm, aproximadamente. Usando a fórmula para área do polígono regular, teremos: A = P·a A = 54·8,24 A = 444,96 A = 222,48 cm2 Observe que o maior trabalho desse exercício foi encontrar a medida do apótema. Caso essa medida fosse dada, todo o cálculo deveria resumir-se a essa última parte. Quais são todos os polígonos regulares?Polígono regular é o polígono convexo que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes, ou seja, os lados possuem a mesma medida e os ângulos internos também possuem a mesma medida. O triângulo equilátero e o quadrado são alguns dentre os polígonos regulares conhecidos.
É correto afirmar que os polígonos são regulares quando?Um polígono é considerado regular quando ele é convexo e possui todos os lados e ângulos com a mesma medida.
O que são polígonos regulares de exemplos?Um polígono é regular quando é convexo e possui todos os lados e ângulos de mesma medida. Por isso um polígono regular é equilátero, pois todos os lados são de mesmo comprimento, e equiângulo, visto que todos os ângulos possuem a mesma medida.
Qual dos polígonos abaixo é considerado regular sempre a Losango B quadrado C triângulo isósceles D trapézio?Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.
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