Quantas combinações se forma com as letras ABCD tomadas duas a duas *?

Chama-se  Combinatória   a parte da matemática que:
se preocupa em agrupar e contar coleções de objetos.

As contagens seguem crtérios específicos e são feitas de duas maneiras:
princípio aditivo  e  princípio multiplicativo.

Princípio aditivo

O  princípio aditivo  ou  princípio da Inclusão-Exclusão  é: 
uma forma de contagem do número de elementos que pertencem à:
união de dois ou mais conjuntos não necessariamente disjuntos.

Para dois conjuntos  A   e   B,  o número de elementos dessa união é dado por:

n(A  ∪  B)  =  n(A)  +  n(B)  –  n(A  ∩  B)

Para três conjuntos  A,  B   e   C,  o número da união é dado por:

n(A  ∪  B  ∪  C)  =
n(A)  +  n(B)  +  n(C)  –  n(A  ∩  B)  –  n(A  ∩  C)  –  n(B  ∩  C)  +  n(A  ∩  B  ∩  C)

Princípio multiplicativo

O princípio multiplicativo  ou  princípio fundamental da contagem  diz que:
se há  "x"  modos de se tomar uma decisão  A  e,  tomada essa decisão,
há  "y"  modos de se tomar uma decisão  B,  então:
o número de modos que se pode tomar sucessivamente as decisões  A  e  B é:
x  ⋅  y

Considerando   x,  y,  z   modos para,  respectivamente,  três decisões,  tem-se:
x  ⋅  y  ⋅  z

Exemplo:
Uma pessoa tem  3  calças,  6 blusas  e  2 pares de sapatos,  todos diferentes.
De quantas maneiras distintas ela poderia se vestir usando uma peça de cada?

Como ela deve usar uma calça,  uma blusa  e  um par de sapato,  então:
o número total é dado por:
3  ⋅  6  ⋅  2  =  36

Forma Geral

De uma forma geral,  quando se tem:
x1   maneiras de se tomar a decisão  1,
x2   maneiras de se tomar a decisão  2,
x3   maneiras de se tomar a decisão  3,
.
.
.
xn   maneiras de se tomar a decisão  n.

Então,  o número de possibilidades é:
x1  ⋅  x2  ⋅   .  .  .  ⋅  xn

Exemplos:
①  Quantos anagramas pode-se fazer com as letras  A,  B,  C,  usando-as uma única vez?

Os anagramas possíveis são:
ABC,  ACB,  BAC,  BCA,  CAB  e  CBA.

Contudo não se deseja saber quais são,  mas sim quantos são.

Para não ter que escrevê-los para poder contá-los,  usa-se:
o princípio fundamental da contagem.
___  ___  ___

Na 1ª posição há  3  posibilidades (qualquer uma das três letras).
Na 2ª posição há  2  posibilidades (qualquer uma das três,  menos a que já foi usada).
Na 3ª posição há apenas  1  possibilidade (a que sobrou das três).

Assim:
Três possibilidades na 1ª posição,  duas na 2ª  e  uma na 3ª.
___  ___  ___

3  ⋅  2  ⋅  1  =  6

②  Com os dígitos  0,  1,  2,  3,  4,  quantas centenas podem ser formadas?

Como se quer formar centenas então não se pode ter o zero no primeiro algarismo.

Começando então pela primeira posição:
___  ___  ___

Na 1ª posição só pode ter  1,  2,  3  ou  4.  Logo,  quatro possibilidades.

Na 2ª posição pode ter qualquer um dos  5  dígitos menos o que já foi colocado.
Logo,  também quatro possibilidades.

Na 3ª posição pode ter qualquer um dos  5  dígitos menos os dois que já foram colocados.
Logo,  três possibilidades.

Assim:
Quatro possibilidades na 1ª posição,  quatro na 2ª  e  três na 3ª.
___  ___  ___

4  ⋅  4  ⋅  3  =  48

Fatorial  ( ! )

O  fatorial  de um número natural  "n"  é  igual ao:
produto sucessivo desse número pelos seus antecessores até a unidade.

O fatorial de  "n",  representado por  "n!"  (lê-se:  “n  fatorial  ou  fatorial de  n”),  é:

n!  =  n  ⋅  (n  –  1)  ⋅  (n  –  2)  ⋅  (n  –  3)  ⋅   .  .  .  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1

Exemplo:
Determine o fatorial de  5.

5!  =  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
5!  =  120

NOTA:

Por convenção:
0!  =  1
1!  =  1

Representações do fatorial

É fácil notar que,  por exemplo,  o fatorial de  6  é:
6!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
6!  =  6  ⋅  5!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
6!  =  6  ⋅  4!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
6!  =  6  ⋅  3!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
6!  =  6  ⋅  2!  =  6  ⋅  5  ⋅  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1

Assim:
se no produto pelos antecessores do número parar antes do número 1,
escreve-se o símbolo do fatorial no número que parar.

Daí,   o fatorial de  "n",  pode ser escrito,  por exemplo,  como:
n!  =  n  ⋅  (n  –  1)  ⋅  (n  –  2)  ⋅  (n  –  3)!
n!  =  n  ⋅  (n  –  1)  ⋅  (n  –  2)!
n!  =  n  ⋅  (n  –  1)!

Isto é muito útil para simplificar algumas expressões.

Análise Combinatória

Permutações Simples

Chama-se  permutação simples  aos agrupamentos de  "n"  elementos distintos,
de modo que cada agrupamento difere do outro apenas pela ordem de seus elementos.

Cálculo da permutação simples

Obtendo o número de maneiras que se pode agrupar  "n"  elementos em  "n"  posições.

Para a primeira posição pode-se ter  "n"  maneiras.
Para a segunda posição pode-se ter  "n  −  1"  maneiras.
Para a terceira posição pode-se ter  "n  −  2"  maneiras.

E assim sucessivamente até a última posição que só terá uma maneira de se escolher.

Portanto,  o número de ordens em que se pode colocar  "n"  objetos distintos é:
Pₙ  =  n!

Pₙ  =  n  ⋅  (n  −  1)  ⋅  (n  −  2)  ⋅   .  .  .  ⋅  1

Exemplo:
Com os dígitos  1,  2,  3  e  5,  quantos números de  4 algarismos distintos se pode formar?

Os algarismos têm de ser distintos,  isto é,  diferentes.

Qualquer exemplo que se faça terá exatamente  4  elementos.

Tomando,  por exemplo:
3215  e  3251 diferem apenas pela ordem dos elementos.

Logo,  trata-se de uma permutação simples de  4  elementos  (os números  1,  2,  3,  5).

P4  =  4!  =  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1  =  24

Arranjos Simples

Seja um conjunto com  "n"  elementos dos quais,  se deseja formar,
agrupamentos de  "p"  elementos distintos,  com  p  ≤  n,  onde:
cada agrupamento difere do outro pela  natureza  ou  pela ordem de seus elementos.

Neste caso se tem um  arranjo simples  de  "n"  elementos,  tomados  "p"  a  "p".

O número de arranjos simples é dado por:

Exemplo:
Com os dígitos   1,  2,  3,  4,  5  e  6,  quantos números de 4 algarismos distintos pode-se formar?

Qualquer exemplo usará apenas quatro dos seis elementos.

2345  é  diferente de  2354  (pela ordem dos elementos).
2345  é  diferente de  2346  (pela natureza),  pois não foram usados os mesmos elementos.

Logo,  trata-se de:
arranjo simples  (cada exemplo usa algarismos distintos)  de  6  elementos,  tomados  4  a  4.

A6, 4  =  

Combinação Simples

Seja um conjunto com  "n"  elementos dos quais,  se deseja formar,
agrupamentos de  "p"  elementos distintos,  com  p  ≤  n,  onde:
cada agrupamento difere do outro apenas pela  natureza  de seus elementos.

Neste caso se tem uma  combinação simples  de  "n"  elementos,  tomados  "p"  a  "p".

O número dessas combinações simples é dado por:

Exemplo:
Quantos subconjuntos com  2  elementos possui um conjunto com  5  elementos?

Considerando o conjunto   { a,  b,  c,  d,  f }.

Um conjunto com dois elementos seria,  por exemplo:
{ a,  b }  que é diferente de  { a,  c }  pela natureza de seus elementos.
Já os conjuntos  { a,  b }   e   { b,  a }   não são diferentes,   mas o mesmo conjunto.

Então,  trata-se de uma  combinação simples  de  5  elementos,  tomados  2  a  2.

C5, 2  =  

Observações:

Qualquer que seja o natural   n  ≥  1 tem-se:
Cn, 0  =  Cn, n  =  1 e Cn, 1  =  n

Exemplos:

Propriedades da combinação simples

①  A combinação é igual ao quociente entre arranjo e permutação  (todos simples):

②  A combinação simples admite os números complementares:

Exemplo:

Permutação Circular  ou  Cíclica

Dado um conjunto com  "n"  elementos onde se deseja ordená-los de maneira que:
o primeiro e o último se encontrem,  isto é,  tenham a forma.

Com os elementos   A,  B,  C  e  D  em círculo,  tem-se que:
ABCD,  BCDA,  CDAB   e   DABC  são todos iguais  (correspondem a um único agrupamento).

O número de  permutações cíclicas  é  dado por:
PCn  =  (n  –  1)!

Exemplo:
Quantas rodas de ciranda podem ser formadas com  5  crianças?

Como a primeira e a última se encontram tem-se uma permutação circular dos  5  elementos.

PC5  =  (5  –  1)!
PC5  =  4!
PC5  =  4  ⋅  3  ⋅  2  ⋅  1
PC5  =  24

Permutação com Repetição

Supondo que se tem  "n"  elementos para permutar,  sendo que:
q1  desses elementos são de um mesmo tipo,  q2  de outro tipo,  e assim por diante,  onde:
q1   +   q2   +   .  .  .   +   qp  ≤  n

Neste caso se tem uma  permutação com repetição  de  "n"  elementos onde se tem:
"q1"  de um tipo,   "q2"  de outro tipo,   "q3"  de um terceiro tipo,   etc.

O número de  permutações com repetição  é  dado por:

Exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra  ARARAS?

Arranjo com Repetição

Seja um conjunto com  "n"  elementos dos quais,  se deseja formar,
agrupamentos de  "p"  elementos não necessariamente distintos,  onde:
cada agrupamento difere do outro pela ordem ou pela natureza de seus elemento,  com  p  ≤  n.

Então se tem um  arranjo com repetição  dos  "n"  elementos,  tomados  "p"  a  "p",  onde:
"p"  é o número máximo de repetições.

O número desses arranjos é dado por:

ARₙ, ₚ  =  np

Exemplo:
Com os dígitos   1,  2,  4,  5,  7,  9,  quantos números de  3  algarismos podem ser formados?

Como não foi dito que os três algarismo devem ser distintos,  então,  por exemplo:
242  pode ser um desses números,  e assim:
um número difere do outro tanto pela natureza como pela ordem de seus elementos.

Então,  trata-se de um  arranjo com repetição  de  6  elementos  3  a  3.

AR6,3  =  63
AR6,3  =  6  ⋅  6  ⋅  6
AR6,3  =  216

Combinação com Repetição

Seja um conjunto com  "n"  elementos dos quais,  se deseja formar,
agrupamentos de  "p"  elementos não necessariamente distintos,  onde:
cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elemento.

Então se tem uma  combinação com repetição  de  "n"  elementos,  tomados  "p"  a  "p",  onde:
"p"  é o número máximo de repetições.

O número dessas combinações é dado por:

Exemplos:
①  Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da equação   x  +  y  +  z  =  4?

De uma forma geral,  pode-se considerar a equação como sendo:
x1   +   x2   +   .   .   .   +   xn  =  p

É bom lembrar que por ser um conjunto  (conjunto-solução),  a ordem não importa.

Assim,  "n"  é  o número de incógnitas  e  "p"  o resultado da soma,  então tem-se:

CR3, 4  =  C3 + 4 – 1, 4  =  C6, 4  =  C6, 2  =  

②  Quantas são as soluções inteiras positivas da equação   x  +  y  +  z  =  4?

Neste caso,  pela incógnita não poder ser zero,  se tomaria:
x  =  a  +  1   y  =  b  +  1   z  =  c  +  1

a  +  1  +  b  +  1  +  c  +  1  =  4
a  +  b  +  c  =  4  –  3
a  +  b  +  c  =  1

Assim,  n  =  3   e   p  =  1,  daí:

CR3, 1  =  C3 + 1 – 1, 1  =  C3, 1  =  3

Caso se queira saber o conjunto-solução:
S  =  { (1,  1,  2)};  (1,  2,  1);  (2,  1,  1) }

Lembrar que na escrita de cada solução a ordem importa.
Isto é,  (1,  2)  ≠  (2,  1).

Mas no conjunto-solução  (quantidade de solução),  não.
Isto é,  em:
S1  =  { (1,  2);  (2,  1) }  há duas soluções,  mas em:
S2  =  { (2,  1);  (1,  2) }  são as mesmas duas soluções de  S1.

Observação:

A principal diferença entre  arranjo  e  combinação  é  que:
no arranjo,  os agrupamentos,  por exemplo:
ABC  e  ACB  são diferentes,  ou seja,  a  ordem importa.

Já na  combinação  a ordem  não  importa.

Assim,  se em um grupo de  5  pessoas,  2  forem escolhidas para ir ao shopping,
tanto faz dizer que os escolhidos foram,  por exemplo:
Ana  e  Bia  como dizer  Bia  e  Ana.
Logo,  trata-se de uma  combinação.

Porém,  se forem escolhidos para gerente e secretária do shopping,
em   Ana  e  Bia  (Ana  é a gerente  e  Bia  a secretária),
já em  Bia  e  Ana  (Bia  é a gerente  e  Ana  a secretária).
Logo,  trata-se de um  arranjo.

Exercícios Resolvidos

R01 — Quantos são os divisores de  210  ⋅  39?  Quantos divisores são pares?

Para 1ª pergunta:

Cada potência de  2  multiplicada por cada potência de  3  representa um divisor.
20  ⋅  30  =  1  ⋅  1  =  1  é  um divisor.
21  ⋅  30  =  2  ⋅  1  =  2,  é outro divisor.
20  ⋅  31  =  1  ⋅  3  =  3,  mais um divisor,  e,  assim por diante.

Então os divisores dependem das potências,  isto é:
no caso da base  2  os expoentes podem ser:
E(2)  =  {0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10}.
Logo,  11  expoentes.

No caso da base  3  os expoentes podem ser:
E(3)  =  {0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9}.
Logo,  10  expoentes.

Então,  há  11  possibilidades para a base  2   e   10  possibilidades para a base  3, então:
11  ⋅  10  =  110  divisores.

Para 2ª pergunta:

Para que o divisor seja um número  par  é  necessário que a base  2  não desapareça,  isto é:
que o expoente do  2  não seja zero,  assim:
haverá  10  possibilidades pra base  2  e  também pra base  3.

Assim,   10  ⋅  10  =  100  divisores são números pares.

R02 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores:
amarelo,  preto  e  vermelho,  sem que dois quadrados consecutivos tenham:
a mesma cor e que nem o primeiro nem o último sejam pintados de amarelo?

Começa-se pelas condições impostas que é para o primeiro e o sexto.
Há apenas duas opções  (vermelho  ou  preto).

A segunda posição pode-se:
pintar com qualquer uma das três cores exceto a que foi pintada a primeira.

Para terceira e quarta a mesma coisa.

Para a quinta posição não se pode pintar:
com a mesma cor da quarta nem da sexta,  então só há uma opção.

Assim tem-se:
2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  1  ⋅  2  =  32  modos diferentes.

R03 — Quantos são os anagramas da palavra  “PRATO”  que começam por consoante?

Cada anagrama corresponde a uma ordem das  5   letras.
Para formar um anagrama começando por consoante se deve começar por  P,  R  ou  T.

Se começar por  P  significa que ele não irá trocar de lugar com as demais:
P __ __ __ __

Assim,   apenas quatro elementos irão permutar.

O mesmo ocorre,  com o fato de se começar por:
R __ __ __ __   ou   T __ __ __ __

Totalizando  “três casos”  iguais,  logo se tem:
P4  +  P4  +  P4  =  3  ⋅  P4  =  3  ⋅  4!  =  3  ⋅  24  =  72  anagramas.

R04 — De quantas formas pode-se ordenar  8  pessoas de modo que:
duas determinadas pessoas não fiquem juntas?

O número total que se pode ordenar é dado pela permutação de todos os elementos:
P8

Mas isto inclui os casos em que duas determinadas estejam juntas.

Supondo,  por exemplo,   que:
Ana  e  Bia  sempre ficassem juntas,  elas formariam apenas um elemento.

As duas formando um elemento mais as outras seis,  totalizam sete:
P7
Mas as duas também poderiam permutar entre si,  neste caso:
P2.

O número que as duas ficariam juntas é:
P7  ⋅  P2

Para que duas não fiquem juntas tem-se:
o número total menos os casos em que estão juntas.

P8  –  P2  ⋅  P7  =  8!  –  2!  ⋅  7!
P8  –  P2  ⋅  P7  =  8  ⋅  7!  –  2  ⋅  7!
P8  –  P2  ⋅  P7  =  7!  ⋅  (8  –  2)
P8  –  P2  ⋅  P7  =  7!  ⋅  6
P8  –  P2  ⋅  P7  =  6  ⋅  7!
P8  –  P2  ⋅  P7  =  6  ⋅  7  ⋅  6!
P8  –  P2  ⋅  P7  =  42  ⋅  720
P8  –  P2  ⋅  P7  =  30 240  modos diferentes.

R05 — De quantas formas podemos acomodar  3  pessoas em  5  cadeiras?

Neste caso,  tem-se cinco cadeiras:
A,  B,  C,  D,  E  das quais se usará apenas  3  (onde sentarão as três pessoas).

Claro que a escolha  ABC  é diferente de  ABD,  pois são cadeiras diferentes.

ABC  e  ACB  embora sejam as mesmas cadeiras são agrupamentos diferentes,
pois as pessoas são distintas e em posições diferentes formam outro agrupamento.

Logo,  tem-se um  arranjo simples  de  5  elementos tomados  3  a  3.

A5, 3  =  

R06 — Numa reta há  6  pontos e em outra reta paralela a esta,  5 pontos.
Quantos triângulos podem ser formados com esses pontos?   E quantos quadriláteros?

Para 1ª pergunta:

Como as retas são paralelas,  deve-se pegar:
dois pontos de uma reta  e  um ponto da outra reta para formar triângulos.

Chamando dois pontos da 1ª reta de  A  e  B,  e  um ponto da segunda reta como  C,  então: 
os vértices  A  e  B  (1ª reta)  formam com o vértice  C  (2ª reta)  um triângulo  e,
o vértice  C  (2ª reta)  forma com os vértices  A  e  B  (1ª reta)  o mesmo triângulo.

Logo,  trata-se de uma  combinação simples,  onde:
escolhe-se  2  pontos da primeira reta  e [1]  1  da segunda reta
ou [2]  1  ponto da primeira reta  e [1]  2  pontos da segunda reta.

Daí:
C6, 2  ⋅  C5,1   +   C6, 1  ⋅  C5, 2  =

[1]  –   Como  é  uma coisa   e   outra,  se faz o produto.
[2]  –   Como  é  uma coisa   ou   outra,  se faz a soma.

Para 2ª pergunta:

Para formar quadriláteros,  é preciso escolher  2  pontos em cada reta.

C6, 2  ⋅  C5, 2  =

R07 — Quantos são os anagramas da palavra  ANAGRAMA,  que:
mantêm juntas as letras  ANGM  nesta ordem?   E que tenham as letras  NGRM  juntas?

Para 1ª pergunta:

Como as letras  ANGM  devem ficar juntas elas formam apenas um elemento que:
com as letras  AAAN  restantes,  formam 5 elementos.

Os  5  elementos serão permutados,  mas há repetição da letra  A  (3 vezes),
a letra  A  que está em  ANGM  não conta,  pois  ANGM  é um elemento unido.

Logo,  trata-se de uma  permutação com repetição  de  5  elementos com  3  repetidos.

PR5, 3  =  

Para 2ª pergunta:

Considerando as letras  NGRM  juntas,  que podem ser permutadas entre  si,  tem-se:
P4  maneiras.

Como  NGRM  é um elemento que com  AAAA,  formam  5  elementos com repetição das 4 letras  A.
Assim,  tem-se:
PR5, 4  maneiras.

Como se deve ter  P4  "e" PR5, 4  maneiras,  se tem o produto dos dois,  isto é:

P4  ⋅  PR5, 4  =  4!  ⋅  

R08 — Seja  A  um conjunto com  4  elementos  e  um outro  B,  com  3  elementos.
Quantas são as funções de  A  em  B?   E quantas são sobrejetoras?

Para 1ª pergunta:

Para ser função,  nenhum dos  4  elementos do primeiro conjunto pode sobrar.

Como cada um deles pode ter o mesmo correspondente então:
pode-se ter no máximo quatro repetições.

Daí:
AR3, 4  =  34  =  3  ⋅  3  ⋅  3  ⋅  3  =  81  funções.

Para 2ª pergunta:

Supondo  A  =  {1,  2,  3,  4}   e   B  =  {6,  7,  8}   tais conjuntos.

Para ser sobrejetora,  não pode sobrar elementos no segundo conjunto.

Então do total de funções deve-se retirar aquelas que:
não se correspondem com os  3  elementos de  B,  ou seja:
aquelas que se correspondem apenas com  1  ou  com  2  elementos.

Para que todos os elementos do conjunto  A  se correspondam com dois de  B.
Neste caso,  {6,  7},   {7,  8}   e   {6,  8}.

Então:
C3, 2 (para a escolha dos dois dentre os  3  de  B)

E eles podem ser repetidos no máximo  4  vezes,  então:
AR2, 4

Como tem que ocorrer um  e  outro,  o número com  2  elementos de  B  é:
C3, 2  ⋅  AR2, 4

Mas quando se escolheu dois dos três elementos de  {6,  7},   {7,  8}   e   {6,  8}.

Foi contado duas vezes as situações com  1  elemento nos casos:
{(1,  6);  (2,  6);  (3,  6);  (4,  6)},  {(1,  7);  (2,  7);  (3,  7);  (4,  7)} e {(1,  8);  (2,  8);  (3,  8);  (4,  8)}.

As que se correspondem com apenas  1  elemento de  B,  se escolhe  1  dentre:  {6,  7,  8}.

Então:
C3, 1 (para a escolha de um dentre os  3  de  B)

O elemento escolhido de  B  pode ser repetido no máximo  4  vezes,  então:
AR1, 4

Como tem que ocorrer um  e  outro,  o número com  1  elemento de  B  é:
C3, 1  ⋅  AR1, 4

Assim,  o número de casos com  1  ou  2  elementos de  B  é:
C3, 2  ⋅  AR2, 4 – C3, 1  ⋅  AR1, 4  =  
3  ⋅  24  –  3  ⋅  14  =  3  ⋅  16  –  3  ⋅  1  =  48  –  3  =  45

Então,  o número de funções sobrejetoras   é:
81  –  45  =  36

De uma forma geral se:
n(A)  =  m   e   n(B)  =  n

Então o número de funções sobrejetoras de  A  em  B  é dado por:

R09 — Num parque há  5  tipos de brinquedos que podem usar o mesmo bilhete de entrada.
Com  3  bilhetes de quantas formas se pode brincar neste parque usando todos os bilhetes?

Considerando os brinquedos:  A,  B,  C,  D,  E.

Utilizar os bilhetes  ABC  ou  BAC  dá no mesmo,  pois são os mesmos brinquedos.

Logo,  trata-se de uma  combinação,  mas pode-se brincar no mesmo brinquedo até  3  vezes.

Logo,  é  com repetição.

Uma  combinação com repetição  de  5  elementos,  tomados  3  a  3.

CR5, 3  =  C5 + 3 – 1, 3  =  C7, 3  =

R10 — Num jogo de dominó em uma mesa retangular com exatamente  4  pessoas.
Tendo  6  pessoas,  de quantas maneiras se pode posicioná-las nesse jogo?

Para escolher as quatro pessoas que irão participar do jogo tem-se:
uma  combinação  de  6  tomados  4  a  4 (pois,  é apenas uma escolha).

Para posicionar os quatro que irão jogar tem-se:
uma permutação circular  dos  4  elementos.

Então,  tem-se a combinação de  6,  4  a  4 e a permutação circular de  4.
C6, 4  ⋅  PC4

Como   C6, 4  =  C6, 2,  então:

C6, 2  ⋅  PC4  =

R11 — Sabendo-se que  

Como  8  –  (p  +  2)  =  8  –  p  –  2  =  6  –  p e  8  –  (p  +  1)  =  8  –  p  –  1  =  7  –  p

Então:
C8,  p + 2  =  

Daí:
C8,  p + 2  :  C8,  p + 1  =  2

7  –  p  =  2  ⋅  (p  +  2)
7  –  p  =  2 p  +  4
7  –  4  =  2 p  +  p
3  =  3  p
3/3  =  p
1  =  p

Portanto,   p  =  1.

R12 — Quantos coquetéis,  mistura de duas ou mais bebidas,
podem ser feitos a partir de  7  ingredientes distintos?

Exercícios Propostos

P01 — Quantos divisores de   210  ⋅  39   formam quadrados perfeitos?

P02 — Em uma sala há  6  lâmpadas com seis interruptores distintos.
De quantos modos pode ser iluminada essa sala?

P03 — De quantas maneiras pode-se dispor  4  homens  e  4  mulheres em uma fila,
sem que dois homens fiquem juntos?

P04 — Lançam-se três dados.   Em quantos dos resultados possíveis,  a soma dos pontos é  12?

P05 — Quantos inteiros entre  1000  e  10000  inclusive,  não são divisíveis por  2  nem por  5?

P06 — De quantas formas pode-se ter o  1º,  2º  e  3º  lugares de um campeonato com  10  times?

P07 — Com as letras da palavra  ADEUS,  se pode formar:
a)  quantos anagramas?
b)  quantos anagramas que começam com a letra  D?
c)  quantos anagramas que começam com vogal?
d)  quantos anagramas que começam com consoante e terminam em vogal?

P08 — De quantos modos pode-se ordenar:
2  livros de matemática,  3  de português  e  4  de física, de modo que:
os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos  e,
além disso,  os de física fiquem sempre na mesma ordem?

P09 — Quantos são os anagramas da palavra  INDEPENDENTE:
a)  começados por  IND?
b)  começados por  IND  e  terminados em   T?
c)  que contenham as letras  I  e  P  sempre juntas?
d)  que contenham as letras  I  e  P  sempre juntas nesta ordem?
e)  que contenham as letras  I  e  P  sempre juntas e termine em  TE?

P10 — Com os dígitos  1,  2,  3,  4  e  5,  quantos números de: 
5  algarismos distintos e maiores que  30 000  se pode formar?

P11 — Quantos números pares de três algarismos distintos pode-se formar com os dígitos: 
1,  3,  5,  6,  8  e  9?

P12 — Quantos números ímpares,  compreendidos entre  300  e  4 000  e,
com todos os algarismos distintos,  pode-se formar com os dígitos  1,  3,  5,  6,  7  e  9?

P13 — Quantas matrizes quadradas de ordem  3  pode-se formar usando os dígitos:
1,  2  e  3,  cada um uma vez e seis zeros?

P14 — Um trem é constituído de  1  locomotiva  e  6  vagões distintos,  sendo um deles restaurante.
Sabendo que a locomotiva cai na frente e que o do restaurante não pode estar logo após a locomotiva,
encontre o número de modos diferentes para montar a composição?

P15 — Quantos números de  3  algarismos distintos pode-se formar:
com os  10  primeiros números naturais?

P16 — De quantas maneiras pode-se escolher  3  representantes de um grupo de  10  pessoas?

P17 — Uma empresa tem  3  diretores  e  5  gerentes.  Quantas comissões de:
5  pessoas podem se formadas contendo no mínimo  1  diretor?

P18 — Uma sociedade tem um conselho administrativo formado por  12  membros,  sendo:
3/4  de brasileiros  e  os demais estrangeiros.
Quantas comissões de  5  conselheiros podem ser formadas com  3  brasileiros?

P19 — De quantas maneiras distintas um grupo de  10  pessoas pode ser divididos em: 
3  grupos de  5,  3  e  2  pessoas?

P20 — Com os dígitos  0,  1,  2,  3,  4,  5  e  6  são formados números de  4  algarismos distintos.
Quantos são divisíveis por  5?

P21 — Com os dígitos   0,  1,  2,  3,  4,  5  e  6  são formados números de  4  algarismos.
Quantos são divisíveis por  5?

P22 — Qual o número de diagonais do decágono?

P23 — Calcular o número de múltiplos de  9  com  4  algarismos distintos que podem:
ser formados com os dígitos  2,  3,  4,  6  e  9?

P24 — Considerando que a loteria esportiva tenha  13  jogos,  quantos são os possíveis resultados?

P25 — Sabendo que as placas de carro são formadas por  3  letras e  4  números.
Qual o número máximo de carros que podem ser emplacados em uma cidade onde só pode começar por  K  ou  L?

P26 — Colocando em ordem crescente todos os números de  5  algarismos distintos obtidos com:
1,  3,  4,  6  e  7,  que posição ocupa o número  61 473?

P27 — Quantos são os naturais ímpares com  5  algarismos distintos?

P28 — Quantos são os anagramas da palavra  ESTUDAR  que começam com vogal?
Que começam e terminam em vogal?   Que tenham as vogais juntas?

P29 — De quantas maneiras pode-se ordenar: 
5  livros de Matemática,  3  livros de Química  e  2  livros de Física.
Todos diferentes,  de forma que os livros de uma mesma disciplina fiquem juntos?

P30 — De quantas formas pode-se ordenar  6  moças e  4  rapazes de modo que:
as moças permaneçam juntas?

P31 — De quantas formas pode-se ordenar  8  pessoas de modo que:
duas determinadas pessoas não fiquem juntas?

P32 — Quantos são os anagramas da palavra  MATEMÁTICA  de forma que:
as vogais e as consoantes sempre fiquem alternadas?

P33 — Quantos são os anagramas da palavra  ÁLGEBRA  que não possuem  2  vogais juntas?

P34 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores:
verde,  amarelo,  azul  e  branco,  sem que dois quadrados consecutivos tenham a mesma cor?

P35 — Quantas são as raízes inteiras não negativas da equação:
x  +  y  +  z  =  6?

P36 — Quantas são as raízes inteiras positivas da equação:
x  +  y  +  z  =  7?

P37 — Quantos subconjuntos com  3  elementos possui um conjunto com  n  elementos?

P38 — Quantos são os anagramas da palavra  COMBINATÓRIA?
Que alternam consoantes e vogais?   Que possuem as vogais juntas?

P39 — Quantos segmentos de reta podem ser formados com extremidades em  15  pontos dados?

P40 — Quantas diagonais possui um polígono convexo com  8  lados?

P41 — De quantas maneiras podemos pedir um sorvete de três bolas se dispomos de  5  sabores diferentes?

P42 — Quantos são os anagramas da palavra  ESCOLA  que terminam em vogal?

P43 — Quantos são os números com  5  algarismos não repetidos formados com  1,  2,  3,  4,  5?
E que sejam ímpares?   E que sejam maiores que  34 125?

P44 — Quantos são os números com  10  algarismos?   E se os algarismos forem distintos?

P45 — De quantas maneiras podemos arrumar  9  pessoas em  3  quartos cada quarto com  3  pessoas?

Quantas combinações são possível fazer com as letras A B C D?

O que é uma combinação de letras?

Quantas possibilidades existem para uma placa ABC 22?

Quantas combinações são possíveis com 3 letras do alfabeto?