Todas as pessoas devem possuir uma certidão de nascimento ou carteira de identidade. O CPF e o título de eleitor também são documentos imprescindíveis para qualquer cidadão. Todos esses documentos possuem o nome da pessoa e um número de identificação que facilita o acesso às informações cadastrais de cada civil. Show Os veículos também possuem um cadastro com diversas informações sobre cor, modelo, ano, número de chassi, numeração do motor, potência, proprietário, endereço de localização, entre outras. O acesso a esses dados cadastrais é realizado através da placa de identificação do veículo. Anteriormente, as placas eram formadas por uma combinação de duas letras e quatro números. Considerando que o alfabeto é composto de 26 letras e nosso sistema de numeração por 10 dígitos, as permutações possíveis eram dadas por: 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10= 6.760.000 Em cada coluna das letras temos a opção de 26 letras e, no caso dos números, a opção de 10 dígitos. Conforme o aumento do número de carros no decorrer dos anos, os departamentos responsáveis pelo registro dos carros em circulação resolveram adotar a presença de mais uma letra nas placas dos automóveis. Essa medida aumentou o número de possibilidades de combinação. Observe:
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) 26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 175.760.000
AAA – 0000 Caso seja necessário calcular o número de permutações somente de placas com elementos distintos, devemos adotar o seguinte cálculo matemático: 26 * 25 * 24 * 10 * 9 * 8 * 7 = 78.624.000 Exemplos: ABC – 1234 Algumas outras restrições podem ser utilizadas na elaboração das placas. Veja: Somente as letras distintas 26 * 25 * 24 * 10 * 10 * 10 * 10 = 156.000.000 Exemplos: ABC – 2255
26 * 26 * 26 * 10 * 9 * 8 * 7 = 88.583.040 Exemplos AAP – 1258 Por Marcos Noé Análise Combinatória - Matemática - Brasil Escola 1 - Introdução Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat
(1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 2 - Fatorial Seja num número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n(indicado pelo símbolo n! ) como sendo: n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2. Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Exemplos: 3 - Princípio fundamental da contagem - PFC Se determinado
acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: Exemplo: Solução: Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. Perceberam? 4 - Permutações simples 4.1 - Permutações simples de nelementos distintos são os agrupamentos formados com todos os nelementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: 5 - Permutações com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplo: Solução: 6 - Arranjos simples 6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: 6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:
Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique) Exemplo: As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 7 - Combinações simples 7.1 - Denominamos combinações simples de nelementos distintos tomados ka (taxa k) aos subconjuntos formados por kelementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a
ordem em que os elementos são colocados. No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: 7.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:
Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:
Exemplo:Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes: 01
- Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? 02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? 03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma
viagem? Exercício resolvido: Solução:Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis. Quantas combinações se forma com as letras ABCD tomadas duas a duas *?= 24/4= 6 ou seja são seis combinações possíveis que são explicitadas pelo conjunto Y={AB,AC,AD,BC,BD,CD}.
Quantas combinações são possível fazer com as letras A B C D?O número de combinações possíveis é exatamente o fatorial da quantidade de letras, ou seja, 4! = 4x3x2x1 = 24 combinações sem repetição de letras. Como ?
Quantas combinações possíveis com o alfabeto?Eu entendi que o problema pede o número de combinações da forma Lxyz, onde L é uma letra do alfabeto e xyz são algarismos de 0 a 9. Nesse caso, teríamos 26 letras possíveis e 10³ combinações dos dígitos, de modo que teríamos 26.1000 = 26000 combinações possíveis.
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