Qual o número de arestas e o número de vértices de um poliedro com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares?

Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

(FAAP-SP)

Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

(PUC-MG)

Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

(UF-AM)

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

V: vértice
A: arestas
F: faces

F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
 

O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12 

* F + V = A + 2
* A = V + 6

F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8

O poliedro possui 8 faces.

P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)

F = 3*P + x*T
A = 4*x

Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3

O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
 

Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)

Pela relação de Euler, temos:

F + V = A + 2

No problema sugerido temos que F = V, portanto:

V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12

Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
 

Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros. Platão buscava explicar a criação do Universo a partir da geometria e associava esses sólidos geométricos a elementos da natureza. São classificados como sólidos de Platão o tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Todos esses cinco sólidos são poliedros regulares, ou seja, possuem arestas e faces congruentes.

Leia também: Classificação dos poliedros

Quais são os poliedros de Platão?

Platão foi um filósofo grego que deu grandes contribuições para o desenvolvimento da matemática.

Os sólidos ou poliedros de Platão é a forma como são conhecidos os cinco sólidos estudados a fundo por ele e seus seguidores. Cada um eles era associado a um elemento da natureza.

→ Tetraedro

O tetraedro é o mais simples dos sólidos de Platão por ser o poliedro regular com o menor número de faces possíveis. Platão associava esse sólido ao elemento fogo. Ele possui quatro faces no formato de um triângulo equilátero, quatro vértices e seis arestas. Ele é conhecido também como pirâmide regular.

→ Cubo

O cubo, que possui faces quadradas, é um poliedro regular com 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Ele era associado ao elemento terra por Platão e também é conhecido como hexaedro regular.

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→ Octaedro

Associado ao elemento ar, o octaedro possui 8 faces no formato de um triângulo equilátero, 12 arestas e 6 vértices.

→ Icosaedro

Representando o elemento água, o icosaedro é um poliedro que possui faces triangulares. Ele possui um total de 20 faces, 30 arestas e 12 vértices.

→ Dodecaedro

Considerado o mais harmonioso dos poliedros por Platão, o dodecaedro era associado ao Universo ou cosmo. As suas faces são pentagonais, e ele possui 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

Leia também: Geometria espacial – o estudo dos objetos tridimensionais

Fórmula de Euler

Euler percebeu uma relação – não só para os poliedros de Platão, mas para qualquer poliedro convexo da geometria espacial – entre o número de faces, vértices e arestas. Em um poliedro qualquer, podemos relacionar esses elementos pela seguinte fórmula:

• V→ número de vértices;

• A→ número de arestas;

• F→ número de faces.

Essa fórmula nos permite encontrar qualquer um dos três elementos de um poliedro, conhecendo-se os outros dois.

Exemplo

Sabendo que um hexaedro possui 8 vértices e 12 arestas, verifique se a relação de Euler é válida nele.

Resolução:

Sabemos que V – A + F = 2.

V = 8

A = 12

F = 6

Vamos verificar se V – A + F é realmente igual a 2 para que a relação seja válida.

8 – 12 + 6

– 4 + 6

2

Logo, a relação de Euler é válida para o hexaedro.

Exercícios resolvidos

1) Um poliedro convexo possui 8 faces e 16 vértices. A soma do número de faces, vértices e arestas é igual a?

a) 22

b) 26

c) 42

d) 46

e) 48

Resolução:

Primeiro vamos encontrar o número de arestas:

V – A + F = 2

16 – A + 8 = 2

24 – A = 2

24 – 2 = A

22 = A

Agora vamos somar: V + F + A = 16 + 8 + 22 = 46.

Alternativa D.

02) Um poliedro convexo tem 5 faces pentagonais e 3 faces triangulares. Qual é o número de arestas desse poliedro?

a) 34

b) 17

c) 25

d) 32

e) 64

Resolução:

Como ele possui 5 faces pentagonais, cada face pentagonal possui 5 arestas.

5 x 5 = 25

Analogamente, cada face triangular possui 3 arestas.

3 x 3 = 9

Agora vamos realizar a soma 25 + 9 = 34. Como a aresta é o encontro de duas faces, estamos contando cada aresta duas vezes. Para eliminar a repetição, vamos dividir por dois, 34 : 2 = 17.

Qual o número de arestas e o número de vértices de um poliedro com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares?

Quantas vértices possui um poliedro de 6 faces quadrangulares?

Quantas arestas tem um poliedro com 6 vértices e 6 faces?

Qual e o poliedro que tem 6 arestas?