Qual é a probabilidade no lançamento de um dado comum não viciado sair a face com o número 4 voltada para cima?

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Probabilidade é o estudo das chances de um determinado resultado ocorrer em um experimento em que os resultados são aleatórios. Em outras palavras, quando não é possível prever que resultado uma experiência produzirá, pode ser possível descobrir qual resultado apresenta mais chances de acontecer. No experimento “lançar um dado”, por exemplo, a possibilidade de obter o resultado “1” é igual à de obter o resultado “6”.

A probabilidade, portanto, representa a chance de determinado evento ocorrer por meio de um número, que é obtido pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

Experimento aleatório

Os experimentos aleatórios dependem da sorte para acontecer. A palavra aleatório quer dizer isto: qualquer dos resultados possíveis pode ser o próximo a ser obtido ou pode nunca ser obtido, dependendo do acaso para isso. Como exemplos de experimentos aleatórios, temos:

• Lançamento de dados. No lançamento de um dado comum qualquer, os seis resultados possíveis têm a mesma chance de acontecer. Suponha que um dado foi lançado e o resultado foi 2. Se esse dado for recolhido e lançado novamente, é possível que qualquer resultado ocorra, até mesmo o número 2. Além disso, mesmo que todos os resultados tenham a mesma chance, é possível tirar um resultado só em todos os lançamentos ou nunca mais obter o número 2 como resultado.

• Escolha de uma carta em um baralho. Esse é o mesmo caso do dado, entretanto, com menores chances de obter uma determinada carta porque o número de resultados possíveis é maior.

Espaço amostral

Espaço amostral é o nome dado ao conjunto de resultados possíveis de um evento aleatório. Dentro do espaço amostral são colocados TODOS os resultados possíveis. No lançamento de um dado, por exemplo, o espaço amostral é composto pelos números naturais de 1 a 6 e possui 6 elementos. O número de elementos do espaço amostral pode ser obtido por algum processo de contagem.

O espaço amostral é um conjunto representado pela letra grega Ω, e seu número de elementos é representado por n(Ω).

Ponto amostral

Um ponto amostral é um resultado possível e único de um experimento aleatório. No exemplo do lançamento de um dado, os pontos amostrais são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Para calcular a probabilidade de um ponto amostral (um resultado único) ocorrer, basta dividir 1, que é a quantidade de eventos favoráveis, ou seja, apenas 1 ponto amostral, pela quantidade de elementos do espaço amostral. No caso dos dados, a probabilidade de sair o número 2 em um lançamento é igual a 1/6.

Evento

Um evento, na teoria de probabilidades, é um conjunto de pontos amostrais de um espaço amostral, ou seja, é um subconjunto do espaço amostral.

No lançamento dos dados, podemos citar como exemplo de evento “sair um número par”. A probabilidade desse evento ocorrer, calculada pelo número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis, é a seguinte: como são 3 números pares no dado, a probabilidade de sair um número par é 3/6 = 1/2.

Existem possibilidades de um evento ser vazio e de um evento conter todos os pontos amostrais do espaço amostral. Nesse caso, a probabilidade desse evento ocorrer será fixada como igual a 1, e a probabilidade do evento vazio ocorrer será zero. Qual é a probabilidade de o lançamento de um dado resultar em um número entre 1 e 6? Resposta: 100% de chances. Logo, essa probabilidade é 1.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:

A probabilidade é a área da Matemática que estuda a chance de determinados eventos acontecerem. Ela é aplicada em diversas situações, como na meteorologia, que faz uma estimativa, levando em consideração o clima, da probabilidade de chover em um determinado dia.

Outro exemplo são os jogos de carta, como o pôquer, em que o jogador vencedor é o que possui a mão mais rara, ou seja, com menor probabilidade de acontecer. A probabilidade estuda o que chamamos de experimentos aleatórios, os quais, repetidos nas mesmas condições, apresentam resultado imprevisível.

Entre os experimentos aleatórios, a probabilidade busca estimar qual a chance de um determinado evento acontecer, como a chance de se retirar o rei em meio a um baralho, entre outros eventos aplicáveis no dia a dia. Quando esses eventos possuem a mesma chance de acontecer, eles são conhecidos como equiprováveis. Para calcular a probabilidade, utilizamos uma fórmula, que nada mais é do que a razão entre casos possíveis e casos favoráveis.

Leia também: Probabilidade no Enem: como esse tema é cobrado?

O que é a probabilidade?

No mundo em que vivemos, estamos cercados de acontecimentos que podem ser previstos, e a probabilidade acaba buscando soluções para conseguir prever resultados dos chamados experimentos aleatórios, sendo base para tomadas de decisões. As estimativas matemáticas são sempre feitas com base na estatística e na probabilidade, área fundamental para a análise do comportamento desses fenômenos. Com o auxílio da probabilidade, os investidores tomam decisões sobre os seus ganhos e futuros investimentos, por exemplo.

Assim sendo, podemos definir a probabilidade como a área da Matemática que estuda a chance de um determinado evento ocorrer.

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Experimentos aleatórios

Experimento aleatório é aquele que, mesmo realizado diversas vezes nas mesmas condições, possui um resultado imprevisível. Esse é o caso dos diversos sorteios da Mega-Sena, que são realizados sempre nas mesmas condições. Ainda que a gente conheça todos os resultados dos últimos sorteios, é impossível prever qual será o resultado do próximo; caso contrário, todas as pessoas com um pouco de dedicação conseguiriam acertar os próximos números. Isso acontece porque estamos trabalhando com um experimento aleatório, no qual é impossível prever o resultado.

Outro exemplo bastante comum é o lançamento de um dado comum não viciado. Sabemos que os resultados possíveis no lançamento é qualquer número entre 1 e 6. Ainda que a gente consiga estimar um intervalo de possíveis resultados, esse é um experimento aleatório, já que não é possível saber qual será o resultado do lançamento.

Veja também: Como a análise combinatória é cobrada no Enem?

Espaço amostral

Em um experimento aleatório, não conseguimos prever o resultado com exatidão, porém é possível prever os resultados possíveis. Dado um experimento aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é conhecido como espaço amostral, que também pode ser conhecido como conjunto universo. É sempre um conjunto, normalmente representado pelo símbolo grego Ω (lê-se: ômega).

Em muitos casos, o nosso interesse não é a listagem do espaço amostral, mas sim a quantidade de elementos que ele possui. Por exemplo, ao lançar um dado comum, temos que Ω: {1,2,3,4,5,6}. Para calcular a probabilidade, é essencial conhecer a quantidade de elementos no espaço amostral, ou seja, qual é a quantidade de resultados possíveis para um determinado experimento aleatório. Outro exemplo é o espaço amostral do lançamento de uma moeda por duas vezes consecutivas. Os resultados possíveis são Ω:{(cara,cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)}

Ponto amostral

Conhecendo o espaço amostral de um determinado experimento aleatório, o ponto amostral é um entre os resultados possíveis desse experimento. Por exemplo, ao lançar o dado comum e observar sua face superior, temos como ponto amostral o número 1, pois ele é um dos resultados possíveis, sendo assim, qualquer um dos resultados possíveis é um ponto amostral.

Evento

Calculamos a probabilidade de eventos acontecerem, então, para compreender a fórmula da probabilidade, o conceito de evento é essencial. Conhecemos como evento qualquer subconjunto do espaço amostral. No lançamento de um dado, por exemplo, podemos encontrar vários eventos, como o subconjunto com os números pares P={2,4,6}.

• Evento certo: um evento é conhecido como certo, quando ele tem 100% de chance de acontecer, ou seja, é um evento que temos certeza de que acontecerá.

Exemplo:

No lançamento de um dado, um evento certo, por exemplo, é ter um resultado menor ou igual a 6. Então, o conjunto de resultados possíveis para o evento é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Note que o conjunto do evento coincide com o espaço amostral. Quando isso ocorre, o evento é tido como certo.

• Evento impossível: um evento é impossível quando ele possui 0% de chance de acontecer, ou seja, é impossível de acontecer.

Exemplo:

No lançamento de um dado comum, obter um resultado igual a 10 é um evento impossível, já que não existe 10 no dado.

Cálculo da probabilidade

Dado um experimento aleatório, podemos calcular qual é a probabilidade desse evento acontecer, por meio da razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. 

P(A): probabilidade do evento A.

n(A) → número de elementos no conjunto A (casos favoráveis).

n(Ω) → número de elementos no conjunto (casos possíveis).

Exemplo 1:

No lançamento de um dado comum, qual é a probabilidade de se obter um resultado maior ou igual a 5?

Resolução:

Primeiro vamos encontrar a quantidade de elementos no espaço amostral. No lançamento de um dado comum, há 6 resultados possíveis, ou seja, n(Ω)=6.

Agora vamos analisar o evento. Os casos favoráveis são resultados iguais ou maiores que 5; no caso do dado, é o conjunto A = {5,6}, então temos que n(A) = 2.

Logo, a probabilidade desse evento ocorrer é:

Exemplo 2:

Em uma sala de aula há 30 alunos, e 12 são meninos e os demais são meninas. Sabendo que há na sala 10 alunos que usam óculos e que 4 deles são meninos, se for sorteado ao acaso 1 aluno, qual é a probabilidade de ser uma menina que não usa óculos?

Resolução:

Primeiro vamos identificar todos os casos possíveis, nesse caso n(Ω)=30, ou seja, 30 alunos possíveis.

Agora vamos contar os casos favoráveis do evento. Sabemos que, dos 30 alunos, 12 são meninos, então 18 são meninas. Sabemos que 10 usam óculos e que 4 são meninos, logo há 6 meninas que usam óculos.

Se há 6 meninas que usam óculos entre as 18 meninas, há 12 meninas que não usam óculos, então n(A)=12.

Acesse também: O que é o método binomial?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem 2018 – PPL) Uma senhora acaba de fazer uma ultrassonografia e descobre que está grávida de quadrigêmeos. Qual é a probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas?

A) 1/16
B) 3/16
C) 1/4
D) 3/8
E) 1/2

Resolução

Alternativa D.

Primeiro vamos encontrar o total de resultados possíveis, como há 2 possibilidades para cada filho, então o número de casos possíveis é 24 = 16.

Desses 16 casos, é possível se obter 2 meninos (H) e 2 meninas (M), das seguintes maneiras:

{H,H,M,M}
{M,M,H,H}
{H,M,M,H}
{M,H,H,M}
{H,M,H,M}
{M,H,M,H}

Há 6 possibilidades, então a probabilidade de ser dois meninos e duas meninas é dada pela razão:

6/16. Simplificando, temos que: 6/16 = 3/8.

Questão 2 – (Enem 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é:

A) 1/5
B) 1/4
C) 2/5
D) 3/5
E) 3/4

Resolução

Alternativa E.

Na imagem, é possível perceber que há 5 regiões. Como ele vai se mudar do Centro para outra região, ele possui 4 possibilidades. Dessas 4 possibilidades, somente 1 tem temperaturas superiores a 31º, sendo assim, há 3 casos favoráveis de 4 possibilidades. A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis, ou seja, 3/4 nesse caso.

Qual é a probabilidade de sair o número 4 no lançamento de um dado?

Qual é a probabilidade de se obter um número maior que 4 no lançamento de um dado?

Qual é a probabilidade de sair cara no lançamento de um dado?

Qual é a probabilidade de no lançamento desse dado resultar uma face com número par?