Quantas diagonais possui um polígono regular com ângulo interno de 120º?

Questão 3

Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.

A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

B) Todo polígono convexo possui diagonal.

C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.

D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.

E) O pentágono possui 5 diagonais.

Questão 11

Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.

A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.

C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.

D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.

Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.

O polígono que possui 5 lados é o pentágono.

Resposta Questão 2

Alternativa E.

Sabemos que os divisores de 70 são:

D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.

Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:

10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70

Resposta Questão 3

Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.

Resposta Questão 4

Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.

Si = (n – 2) · 180

Si = ( 8 – 2) · 180

Si = 6 · 180

Si = 1080

Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:

1.080 : 8 = 135º

Resposta Questão 5

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180

720 = ( n – 2) 180

720 / 180 = n – 2

4 = n – 2

n = 4+2

n = 6

Resposta Questão 6

Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.

Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.

Resposta Questão 7

Alternativa B.

Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:

a + b + c = 180

Por proporção, temos que:

a = 3k

b = 5k

c = 7k

Assim sendo, podemos escrever que:

3k + 5k + 7k = 180

15k = 180

k = 180/ 15

k =12

O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.

Resposta Questão 8

Alternativa B.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360

8x – 10 = 360

8x = 360

x = 360 : 8

x = 45

O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.

Resposta Questão 9

Alternativa C.

Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180º

Si = (6 – 2 ) 180º

Si = 4 · 180º

Si = 720º

A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.

Resposta Questão 10

Alternativa D.

35 – 20 = 15

Resposta Questão 11

Alternativa C.

Resposta Questão 12

Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.

Polígono regular é o polígono convexo que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes, ou seja, os lados possuem a mesma medida e os ângulos internos também possuem a mesma medida. O triângulo equilátero e o quadrado são alguns dentre os polígonos regulares conhecidos.

Leia também: Quais são os elementos de um polígono?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre polígono regular
• 2 - Videoaula sobre polígonos regulares
• 3 - O que são polígonos regulares?
• 4 - Perímetro do polígono regular
• 5 - Ângulos internos de um polígono regular
• 6 - Ângulos externos de um polígono regular
• 7 - Apótema do polígono regular
• 8 - Área do polígono regular
• 9 - Diferença entre o polígono regular e o polígono irregular
• 10 - Exercícios sobre polígono regular

Resumo sobre polígono regular

• Polígono regular é aquele que possui lados e ângulos congruentes.

• O perímetro de um polígono regular é o comprimento do lado vezes a quantidade de lados:

\(P = n ⋅l \)

• A medida de cada ângulo interno do polígono regular é dada pela seguinte fórmula:

\(α=\frac{S_i}n\)

• A medida do ângulo externo de um polígono regular é dada pela seguinte fórmula:

\(e=\frac{360}n\)

• O apótema de um polígono regular é igual à medida do raio de uma circunferência circunscrita.

• A área de um polígono regular é dada pela seguinte fórmula:

\(A=a⋅p\)

• Enquanto o polígono regular possui todos os seus lados e ângulos congruentes, o polígono irregular não possui todos os lados congruentes ou não possui todos os ângulos congruentes.

Videoaula sobre polígonos regulares

O que são polígonos regulares?

Polígonos regulares são os polígonos convexos que são equiláteros e equiângulos, ou seja, possuem lados congruentes e também possuem ângulos com a mesma medida. Lembre-se que polígonos são convexos quando qualquer segmento de reta que possui extremidades em seu interior está totalmente contido no polígono. O triângulo equilátero e o quadrado são casos de polígonos regulares, mas há pentágonos, hexágonos, entre outros polígonos que também são regulares.

Perímetro do polígono regular

Para calcular o perímetro de um polígono regular, basta multiplicar a medida do seu lado pela quantidade de lados que esse polígono possui. Já que ele é equilátero, o perímetro do polígono regular é calculado pela fórmula:

\(P=n⋅l\)

• n → número de lados do polígono

• l → comprimento do lado do polígono

Exemplo:

Qual é o perímetro de um pentágono regular que possui lados medindo 8 cm?

Resolução:

Calculando o perímetro, sabendo que o pentágono é regular, temos que:

\(P=5⋅8=40\ cm\)

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Ângulos internos de um polígono regular

O polígono regular é equiângulo, ou seja, todos os ângulos internos possuem a mesma medida. Sendo assim, para calcular o valor de cada ângulo podemos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados do polígono.

De modo geral, para calcular o valor da soma dos ângulos internos de um polígono, utilizamos a fórmula:

\(S_i=180⋅(n-2)\)

• \(S_i\) → soma dos ângulos internos do polígono

• n → número de lados do polígono

Sabemos que em um polígono regular todos os ângulos são congruentes. Sendo assim, a fórmula para calcular a medida de cada um dos ângulos de um polígono regular é:

\(a_i=\frac{180⋅(n-2)}{n}\)

• \(a_i\) → medida do ângulo interno do polígono

Exemplo:

Qual é a medida de cada lado de um octógono regular?

Resolução:

Substituindo n = 8 na fórmula, temos que:

\(a_i=\frac{180⋅(8-2)}{8}\)

\(a_i=\frac{180⋅6}{8}\)

\(a_i=\frac{1080}8\)

\(a_i=135°\)

Ângulos externos de um polígono regular

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é 360°. Para calcular a medida de cada ângulo externo de um polígono regular, basta dividir 360° pelo número de lados desse polígono.

\(a_e=\frac{360}n\)

Exemplo:

Qual é a medida do ângulo externo de um triângulo equilátero?

Resolução:

Substituindo n = 5 na fórmula:

\(a_e=\frac{360}3\)

\(a_e=120°\)

Apótema do polígono regular

O apótema de um polígono regular é igual à medida do raio de uma circunferência circunscrita, sendo que o apótema é o comprimento do segmento que vai do centro do polígono até o lado, formando um ângulo de 90°.

Área do polígono regular

Para calcular a área de um polígono regular, além das fórmulas existentes específicas de cada polígono, há uma fórmula que podemos utilizar para todo polígono regular:

\(A=a⋅p\)

• a → apótema

• p → semiperímetro (metade do perímetro)

Exemplo:

Um pentágono possui lados medindo 4 cm e apótema igual a 2,75 cm. Qual o valor de sua área?

Resolução:

Sabemos que:

\(A=a⋅p\)

Calculando o perímetro:

P = \(4⋅5\)

P = 20

Então o semiperímetro é:

20 : 2 = 10

Logo, para calcular a área, temos que:

\(A=a⋅p\)

\(A=2,75⋅10\)

\(A=27,5\ cm^2\)

Diferença entre o polígono regular e o polígono irregular

O polígono regular é um polígono que é equilátero e equiângulo ao mesmo tempo. Caso contrário, o polígono seria irregular. Então, o polígono irregular é o aquele que não possui todos os lados congruentes ou não possui todos os ângulos congruentes.

Como o polígono irregular possui pelo menos um dos lados com medida distinta, as propriedades para encontrar a medida de cada ângulo interno ou cada ângulo externo, por exemplo, não são válidas para o polígono regular.

Acesse também: Poliedros — as figuras tridimensionais formadas pela união de polígonos regulares

Exercícios sobre polígono regular

Um polígono que possui 12 lados é conhecido como dodecágono. Caso esse polígono seja regular, a medida de cada um dos seus ângulos internos é:

A) 100°

B) 125°

C) 150°

D) 175°

E) 200°

Resolução:

Alternativa C

Calculando a medida de cada ângulo interno, sabemos que n = 12:

\(a_i=\frac{180⋅(12-2)}{12}\)

\(a_i=\frac{180⋅10}{12}\)

\(a_i=\frac{1800}{12}\)

\(a_i=150°\)

Questão 2

O polígono é considerado regular se:

A) possuir lados paralelos congruentes entre si.

B) for um polígono equilátero.

C) for um polígono equiângulo.

D) for um polígono equilátero e equiângulo.

E) for um polígono com pelo menos um lado com medida diferente.

Resolução:

Alternativa D

O polígono é regular se ele é simultaneamente equilátero e equiângulo, ou seja, possuir lados congruentes entre si e ângulos congruentes entre si.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Qual é o polígono regular que tem o seu ângulo interno igual a 120?

Como calcular as diagonais de um polígono regular?

Qual é o número de diagonais de um polígono de 12 lados?

Quantas diagonais possui um polígono regular?