Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é 540º?

Questão 3

Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.

A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

B) Todo polígono convexo possui diagonal.

C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.

D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.

E) O pentágono possui 5 diagonais.

Questão 11

Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.

A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.

C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.

D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.

Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.

O polígono que possui 5 lados é o pentágono.

Resposta Questão 2

Alternativa E.

Sabemos que os divisores de 70 são:

D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.

Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:

10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70

Resposta Questão 3

Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.

Resposta Questão 4

Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.

Si = (n – 2) · 180

Si = ( 8 – 2) · 180

Si = 6 · 180

Si = 1080

Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:

1.080 : 8 = 135º

Resposta Questão 5

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180

720 = ( n – 2) 180

720 / 180 = n – 2

4 = n – 2

n = 4+2

n = 6

Resposta Questão 6

Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.

Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.

Resposta Questão 7

Alternativa B.

Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:

a + b + c = 180

Por proporção, temos que:

a = 3k

b = 5k

c = 7k

Assim sendo, podemos escrever que:

3k + 5k + 7k = 180

15k = 180

k = 180/ 15

k =12

O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.

Resposta Questão 8

Alternativa B.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360

8x – 10 = 360

8x = 360

x = 360 : 8

x = 45

O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.

Resposta Questão 9

Alternativa C.

Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180º

Si = (6 – 2 ) 180º

Si = 4 · 180º

Si = 720º

A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.

Resposta Questão 10

Alternativa D.

35 – 20 = 15

Resposta Questão 11

Alternativa C.

Resposta Questão 12

Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)

(ONEM – 2010) Os dois polígonos mostrados na figura são regulares, têm um lado em comum e são coplanares.

Determinar a medida angular [tex]\textcolor{red}{\alpha}[/tex], em graus.

Lembrete

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex]n[/tex] lados [tex](n\gt 2)[/tex] é dada por:
[tex]\qquad \qquad \boxed{S_{n}=\left(n-2\right)\cdot 180^\circ}.[/tex]

Solução

Observe que se conseguirmos obter as medidas angulares [tex]\textcolor{#CC66FF}{\theta}[/tex] e [tex]\textcolor{#339900}{\beta}[/tex] indicadas na figura abaixo, facilmente obtemos a medida [tex]\textcolor{red}{\alpha}[/tex], uma vez que [tex]\boxed{\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{#339900}{\beta}+\textcolor{#CC66FF}{\theta}=360^\circ}.[/tex]
Vamos fazê-lo por etapas.

• O polígono colorido de verde é um pentágono.
  Pela fórmula citada no Lembrete, a soma dos ângulos internos de um pentágono é
  [tex]\qquad \qquad S_5=\left(5-2\right)\cdot 180^\circ=540^\circ.[/tex]
  Como o pentágono da figura é regular, particularmente todos os seus ângulos internos têm a mesma medida, portanto:
  [tex]\qquad \qquad \textcolor{#339900}{\beta=\dfrac{540^\circ}{5}}[/tex]

[tex]\qquad \qquad \textcolor{#339900}{\boxed{\beta=108^\circ}}.[/tex]

• O polígono colorido de lilás é um octógono.
  Pela fórmula citada no Lembrete, a soma dos ângulos internos de um octógono é
  [tex]\qquad \qquad S_8=\left(8-2\right)\cdot 180^\circ=1080^\circ.[/tex]
  Como o octógono da figura é regular, também todos os seus ângulos internos têm a mesma medida, logo:
  [tex]\qquad \qquad \textcolor{#CC66FF}{\theta=\dfrac{1080^\circ}{8}}[/tex]

[tex]\qquad \qquad \textcolor{#CC66FF}{\boxed{\theta=135^\circ}}.[/tex]

A partir dessas duas medidas, podemos concluir que:
[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{\alpha}=360^\circ-\textcolor{#339900}{\beta}-\textcolor{#CC66FF}{\theta}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{\alpha}=360^\circ-\textcolor{#339900}{108^\circ}-\textcolor{#CC66FF}{135^\circ}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \textcolor{red}{\boxed{\alpha=117^\circ}}[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.

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Qual é o polígono regular cuja soma dos ângulos internos é igual a 540 graus?

Quantos lados tem um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos têm como medida de 540?

Qual a soma dos ângulos internos polígono convexo?

Quais são os ângulos de um polígono convexo?