Qual é o espaço amostral do lançamento simultâneo de um dado é de uma moeda?

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• Qual e o espaço amostral do lançamento de um dado e de uma moeda?
• Qual e o espaço amostral no lançamento de uma moeda duas vezes?
• São lançados simultaneamente um dado e uma moeda o número de elementos do espaço amostral e?
• Quantas são as possibilidades de lançar uma moeda e um dado ao mesmo tempo?

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no lançamento de uma moeda, A = {cara, coroa} é um evento 
certo: n(A) = n(U). 
2 - Se A = , o evento é impossível; por exemplo, obter 7 no lançamento de um dado. 
3 - Quando, para dois eventos A e
A
, A  
A
 = U e A  
A
 = , esses dois eventos são complementares. No 
lançamento de um dados, sendo A = {2, 4, 6} o evento obter um número par e 
A
 = {1, 3, 5} o evento obter um 
número ímpar, temos: 
A  
A
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U e A  
A
 =  
Portanto, A e
A
 são eventos complementares. 
 
 
Exemplo: Determine o espaço amostral do experimento aleatório lançamento simultâneo de duas moedas. 
 
Solução: Indicando cara por C e coroa por D, temos: 
 
 U = {(C, C), (C, D), (D, C), (D, D)} 
 n(U) = 4 
 
EXERCÍCIO 
 
17 – Considerando o experimento aleatório nascimento de três filhos de um casal, determine o espaço amostral e o 
subconjunto que representa o evento nascimento de exatamente dois meninos em três filhos do casal. 
 
 
 
 
 
35 
3.3.1 EVENTOS INDEPENDENTES 
 Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não de um dos eventos não afeta a 
probabilidade de realização do outro e vice-versa. 
Exemplo: No lançamento de dois dados distintos, a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo, é: 
P   
1
6
1
6
1
36
 
3.3.2 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
 Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a 
realização do(s) outro(s). 
Assim, no nascimento de uma criança, o evento “nascer menino” e o evento “nascer menina”, são 
mutuamente exclusivos, pois na realização de um deles, o outro não se realiza. 
 
3.4 PROBABILIDADE 
Num experimento aleatório eqüiprovável, sendo n(U) o número de elementos do espaço amostral U e n(A) o 
número de elementos do evento A, a probabilidade de que ocorra o evento A é dada pelo número real: 
 
P A
n A
n U
( )
( )
( )

 
 
Então, a probabilidade de um evento é dada pelo quociente da divisão do número de casos favoráveis pelo 
número de casos possíveis, ou seja: sempre que um espaço amostral consiste de N resultados possíveis que são 
igualmente prováveis, a probabilidade de cada resultado será 
1
N
.
 
 
Exemplo: No lançamento de duas moedas e o evento ocorrer cara pelo menos uma vez. Representando para cara C 
e para coroa D, temos: 
 
U C C C D D C D D
n U
A C C C D D C
n A











{( , ),( , ),( , ),( , )}
( )
{( , ),( , ),( , )}
( )
4
3
3 casos em 4 possíveis 
 
P( A
n A
n U
)
( )
( )
 
3
4
 
 
EXERCÍCIOS 
18 – Na escolha de um número de 1 a 30, qual a probabilidade de ser sorteado um múltiplo de 5? 
 
 
 
 
19 – Qual a probabilidade de, no lançamento simultâneo de dois dados, obter soma igual a 7? 
 
 
 
 
 
 
36 
 
3.4.1 PROPRIEDADES 
 
1ª) Se A = , então n(A) = 0 e, portanto, P(A) = 0 (probabilidade do evento impossível). 
 
2ª) Se A = U, então n(A) = n(U) e P(A) = 1 (probabilidade do evento certo). 
 
3ª) Se A  U, então 0  n(A)  n(U). 
 
Dividindo a desigualdade por n(U)  0, temos: 
 
0
0 1
n U
n A
n U
n U
n U
P A
( )
( )
( )
( )
( )
( )    
 
4ª) Se A e 
A
 são eventos complementares, então n(A) + n(
A
) = n(U). 
Dividindo a igualdade por n(U)  0, temos: 
 
n A
n U
n A
n U
n U
n U
P A P A
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )     1
 
 
 
3.4.2 PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS 
 
Se A e B são dois eventos de um espaço amostral U, sabemos que 
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B): 
 
 U 
 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo essa igualdade por n(U)  0, temos: 
 
n A B
n U
n A
n U
n B
n U
n A B
n U
P A B P A P B P A B
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )

  

     
 
 
Se A  B = , os eventos são mutuamente exclusivos, isto é, P(A  B) = 0. Daí: 
 
 P(A  B) = P(A) + P(B) 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
20 – Sorteando um número de 1 a 30, qual a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3? 
 
 
21 – Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, calcule a probabilidade de que suas faces superiores 
exibam soma igual a 7 ou 9. 
 
 
 
37 
3.4.3 MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
A probabilidade do produto é dada por um princípio análogo ao princípio fundamental da contagem, quando 
os eventos A e B são independentes. 
Se ocorre um evento A de probabilidade p e, em seguida, ocorre o evento B de probabilidade q (ambos 
independentes), então a probabilidade de que ocorram os eventos A e B na ordem indicada é p.q: 
 
P A B P A P B p q( ) ( ) ( )    
 
 
Essa regra pode ser generalizada para n eventos A1, A2, ... , An com probabilidades p1, p2, ... , pn, 
respectivamente. 
 
Exemplo: Determine a probabilidade de sair o número 5 em dois lançamentos sucessivos de um dado. 
 
Solução: Sendo A o evento obter 5 no primeiro lançamento e B o evento obter 5 no segundo lançamento, 
 
vem: 
U
n U
n A
n B











{ , , , , , }
( )
( )
( )
1 2 3 4 5 6
6
1
1
 
 
Temos 
P A e P B( ) ( ) , 
1
6
1
6
 com A e B independentes. 
Logo, a probabilidade pedida é dada por: P(A) x P(B) = 
1
6
1
6
1
36
x 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
22 – Em uma urna há 5 bolas azuis e 9 bolas brancas. Retiramos uma bola da urna e, em seguida, sem repor a bola 
retirada, retiramos uma segunda bola. Determine a probabilidade de: 
 
 
 
 
23 – Numa certa comunidade, 52% dos habitantes são mulheres e destas 2,4% são canhotas. Dos homens, 2,5% 
são canhotos. Calcule a probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso seja canhoto. 
 
 
 
 
 
3.5 VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
 Definimos variável aleatória de um espaço amostral, a função onde a cada elemento desse espaço é 
atribuído um número real. 
 Seja X uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor x  R, e a cada valor xi correspondem pontos 
do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de tais pontos no espaço 
amostral. 
 Assim, temos: 
pi  1
 
 
 Os valores x1, x2, ... , xn e seus correspondentes p1, p2, ... , pn, definem uma distribuição de probabilidade. 
 
Exemplo: Sendo c o evento cara e k o evento coroa. S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)} é o espaço amostral que 
representa o lançamento simultâneo de duas moedas. Construa a tabela de distribuição de probabilidade do evento 
que representa o número de caras. 
 
 
38 
 
PONTO AMOSTRAL X Número de caras ( X ) p(X) 
(c, c) 2 2 1/4 
(c, k) 1 1 1/2 
(k, c) 1 0 1/4 
(k, k) 0 

1 
 
 
 Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência entre os valores da variável 
aleatória X e os valores da variável P. Essa correspondência define uma função que determina a distribuição de 
probabilidade da variável aleatória X. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
24 – Uma determinada moeda viciada apresenta cara duas vezes mai frequentemente que coroa. Essa moeda é 
jogada quatro vezes. Seja X o número de caras que aparece. Estabeleça a distribuição de probabilidade de X. 
 
 
 
 
 
3.5.1 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
 
Dados dois eventos complementares, A e A_ , temos: 
 
P A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )
_ _
    1 1
 
 
Sendo P( A ) = p, podemos escrever:
P A p(

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Qual e o espaço amostral no lançamento de uma moeda duas vezes?

São lançados simultaneamente um dado e uma moeda o número de elementos do espaço amostral e?

Quantas são as possibilidades de lançar uma moeda e um dado ao mesmo tempo?