Qual é a relação existente entre a medida do lado e a área do quadrado?

TAREFA 9 – DUPLICAÇÃO DA ÁREA DO QUADRADO*

1. IDENTIFICAÇÃO DA TAREFA

1. Utilizando papel quadriculado, construa um quadrado com área de 25 cm².
2. Determine a medida do lado desse quadrado, descreva seu raciocínio e justifique sua resposta.
3. Construa um quadrado com o dobro da área do anterior e explique seu raciocínio.
4. Descreva as relações existentes entre as medidas de um quadrado qualquer, representando-as em linguagem algébrica.

Na questão 1, o objetivo e formar um quadrado com papel quadriculado, a seguir na questão 2, deve-se determinar as medidas desse quadrado fazendo com que o aluno já tenha uma relação da medida do quadrado com os quadros do papel quadriculado, continuando na questão 3, com essa relação pré-estabelecida é pedido para construir um quadrado maior, agora com o dobro do pedido na questão 1, e por fim representar algebricamente essas relações encontradas nas 3 questões anteriores.

2. RESOLUÇÃO DA TAREFA

QUANTIDADE DE BALAS POR PACOTES

98 100 101 98 99 100

102 100 101 101 100 98

Para realização da tarefa observamos na tabela a quantidade de balas por pacote, em seguida pensamos que a quantidade de balas por pacote esperada em um pacote qualquer seria a média de balas por pacote, considerando uma quantia fixa de balas por pacote. Calculamos a média somando todas as quantidades de balas e dividindo pela quantidade total de pacotes.

Figura 02

Figura 01

Assim optamos em seguir a tarefa usando a relação do tamanho dos quadrados com a própria formula da área.

1. Na figura 01 e 02 temos o quadrado com área de 25 cm².
2. Na figura 02 temos a medida dos lados desse quadrado, para encontrar os lados usamos a formula da área, segue o raciocínio utilizado.

Á푟푒푎 = 푏푎푠푒 ∗ 푎푙푡푢푟푎 퐶표푚표 푠푒 푡푟푎푡푎 푑푒 푢푚 푞푢푎푑푟푎푑표,푡푒푚표푠 푞푢푒 푎 푏푎푠푒 푒 푎 푎푙푡푢푟푎 푡푒푚 푎 푚푒푠푚푎 푚푒푑푖푑푎,푙표푔표 푐ℎ푎푚푎푚표푠 표푠 푙푎푑표푠 푑푒 푏 푒 푎 á푟푒푎 푑푒 퐴. 퐴 = 푏 ∗ 푏

퐴 = 푏 2

√퐴= 푏

퐴푠푠푖푚 푡푒푚표푠 표푠 푙푎푑표푠 푑표 푛표푠푠표 푞푢푎푑푟푎푑표 푑푒 25 푐푚 2 ,푠푒푛푑표 5푐푚 푐푎푑푎.

√ 25 = 푏

푏 = 5

1. Para construirmos um quadrado com o dobra da área além de saber quais os lados desse quadrado precisamos saber a área, sendo o dobro temos que, 2 ∗ 25푐푚 2 = 50푐푚 2 , utilizando a relação encontrada anteriormente √퐴= 푏, podemos determinar os lados desse novo quadrado.

√퐴= 푏

√ 50 = 푏

푏 = 5√ 2

Para que possamos construir o quadrado chegamos a um valor aproximado que pudéssemos desenhar utilizando a régua, 5 √ 2 푐푚 ≅ 7,07 푐푚, segue o segundo quadrado agora com área de 50 cm² (figura 03).

Para determinar a √ 25 푒 √ 50 , além da calculadora utilizamos um método chamado fatoração em fatores primos, que nada mais é que decompor o número 25 e o 50, seguindo uma ordem do menor número primo possível que possa dividir 25 ou 50 e sobre resto zero. Após decompor é separado os fatores iguais em grupos de 2, no caso 25 = 5 ∗ 5,

logo precisamos apenas separar os 2 fatores 5, desta maneira sabemos que a √ 25 = 5, já para determinar a raiz quadrada de 50, fica 50 = 2 ∗ 5 ∗ 5, e possível separar os fatores 5 em um grupo de dois, deixando apenas o 5, porem com o 2 não é possível, por isso ele

fica na raiz, resultando 5 √ 2 , essa foi a maneira que sabíamos encontrar a raiz quadrada de um número qualquer, porém não sabíamos o porquê esse procedimento funcionava. Na aula seguinte após algumas discussões com o professor Everton nos ocorreu que esse procedimento fatoração em fatores primos é o que já tínhamos visto nas aulas anteriores em potenciação, e para descobrir a raiz quadrada o procedimento que fazíamos era exatamente este:

√ 50 =( 50 )

1 2

퐷푒푐표푚푝표푛푑표 푡푒푚표푠:

( 50 )

1 2 = 2

1 2 ∗ 5

1 2 ∗ 5

1 2

퐶표푚표 푣푖푠푡표 푛푎 푝표푡푒푛푐푖푎çã표,푝표푑푒푚표푠 푠표푚푎푟 표푠 푒푥푝표푒푛푡푒푠 푑푒 푚푒푠푚푎 푏푎푠푒,푓푖푐푎푛푑표:

( 50 )

1 2 = 5

1 2 +

1 2 ∗ 2

1 2

( 50 )

1 2 = 5 1 ∗ 2

1 2

√ 50 = 5 ∗√ 2

1. CONCLUSÕES

Assim após ter respondido as primeiras questões vimos que podemos encontrar os lados de um quadrado tirando a raiz quadrada de sua área, e para tirar a raiz quadrada compreendemos o porquê usávamos a fatoração em fatores primos, e utilizávamos da potenciação para determinar o valor da raiz quadrada ou seja a radiciação, sendo assim a radiciação é o inverso da potenciação, uma relação no qual já tínhamos visto algo parecido, onde a divisão é o inverso da multiplicação e a subtração é o oposto da adição. Vimos que qualquer número pode ser decomposto por fatores primos, e nos foi corrigido dizer “multiplica o número por ele mesmo” por “multiplica o número por ele mesmo duas vezes” que é um erro que cometíamos sempre que nos perguntávamos sabíamos qual a raiz quadrada de um número qualquer. Ao meio das resoluções da tarefa apresentada pelos colegas de sala de aula, surgiu a dúvida se número irracional e finito ou infinito,

5 √ 2 é um número exato ou aproximado, e assim nos foi concluído que número irracional e sim finito, e que a representação decimal de 5 √ 2 e infinita, ou seja a representação decimal de um número irracional e infinita, porem o número irracional e finito. Voltando a radiciação ser o inverso da potenciação podemos observar essa relação quando dizemos

que 푛√푎= 푎

1 푛. E por fim revisamos os conjuntos numéricos.

Qual a relação existente entre a medida da área do quadrado?

Qual a relação existente entre o lado e o perímetro entre o lado e a área?

Qual e a relação existente entre a medida da área do quadrado q1 e a medida da área do quadrado que e 2?

Qual e a relação existente entre as medidas dos lados e a área do retângulo?