Qual é a probabilidade de sair uma face com número ímpar de pontos?

Em oposi��o aos fen�menos aleat�rios, existem os fen�menos determin�sticos, que s�o aqueles cujos resultados s�o previs�veis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades poss�veis de ocorr�ncia de um fen�meno aleat�rio, sendo a medida num�rica da ocorr�ncia de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que ser� muito mais freq�ente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando da�, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

2 – Conceito elementar de Probabilidade

Seja U um espa�o amostral finito  e equiprov�vel e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorr�ncia do evento A ser� calculada pela f�rmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:
n(A) = n�mero de elementos de A e n(U) = n�mero de elementos do espa�o de prova U.

Vamos utilizar a f�rmula simples acima, para resolver os seguintes exerc�cios introdut�rios:

1.1 - Considere o lan�amento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o n�mero 3:
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada ser� igual a p(A) = 1/6.

b) sair um n�mero par: agora o evento � A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada ser� p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um m�ltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada ser� p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um n�mero menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3.

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.

1.2 - Considere o lan�amento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8
Observe que neste caso, o espa�o amostral U � constitu�do pelos pares ordenados (i,j), onde i = n�mero no dado 1 e j = n�mero no dado 2.
� evidente que teremos 36 pares ordenados poss�veis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrer�o nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada ser� igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12
Neste caso, a �nica possibilidade � o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada ser� igual a p(A) = 1/36.

1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposi��o, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma � conveniente, pois permite a estimativa do n�mero de ocorr�ncias para um n�mero elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sair� bola azul, 50% dos casos sair� bola vermelha e 20% dos casos sair� bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribui��o do n�mero de ocorr�ncias se aproximar� dos percentuais indicados.

3 – Propriedades

P1: A probabilidade do evento imposs�vel � nula.
Com efeito, sendo o evento imposs�vel o conjunto vazio (�), teremos:
p(�) = n(�)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna s� existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento imposs�vel, neste caso) � nula.

P2: A probabilidade do evento certo � igual a unidade.
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna s� existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) � igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer � um n�mero real situado no intervalo real [0, 1].
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar � igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, � muito importante pois facilita a solu��o de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, � mais f�cil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica f�cil determinar a probabilidade do evento.

P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A � B)
Observe que se A � B= � (ou seja, a interse��o entre os conjuntos A e B � o conjunto vazio), ent�o
p(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, j� sabemos da Teoria dos Conjuntos que
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A � B)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a defini��o de probabilidade, conclu�mos rapidamente a veracidade da f�rmula acima.

Exemplo:

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas s�o assinantes do jornal J, 4000 s�o assinantes de P, 1200 s�o assinantes de ambos e 800 n�o l�em jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?

SOLU��O:
Precisamos calcular o n�mero de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espa�o amostral. Teremos:
n(U) = N(J U P) + N.� de pessoas que n�o l�em jornais.
n(U) = n(J) + N(P) – N(J � P) + 800
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada ser� igual a:
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpreta��o do resultado � a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais � de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de n�o ser).

4 – Probabilidade condicional

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorr�ncia de um evento A, sabendo-se de antem�o que ocorreu um certo evento B. Pela defini��o de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A dever� ser calculada, dividindo-se o n�mero de elementos de elementos de A que tamb�m pertencem a B, pelo n�mero de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que j� ocorreu B, � denominada Probabilidade condicional e � indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que j� ocorreu B – da�, o nome de probabilidade condicional.

Teremos ent�o:

p(A/B) = n(A � B)/ n(B)

onde A � B = interse��o dos conjuntos A e B.

Esta f�rmula � importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:
Ora, a express�o acima, pode ser escrita sem nenhum preju�zo da eleg�ncia, nem do rigor, como:
p(A/B) = [n(A � B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]
p(A/B) = p(A � B) . 1/p(B)
Vem, ent�o: P(A/B) = p(A � B)/p(B), de onde conclu�mos finalmente:

p(A � B) = p(A/B).p(B)

Esta f�rmula � denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importante f�rmula, permite calcular a probabilidade da ocorr�ncia simult�nea dos eventos A e B, sabendo-se que j� ocorreu o evento B.
Se a ocorr�ncia do evento B, n�o mudar a probabilidade da ocorr�ncia do evento A, ent�o p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos s�o ditos independentes, e a f�rmula acima fica:

p(A � B) = p(A) . p(B)

Podemos ent�o afirmar, que a probabilidade de ocorr�ncia simult�nea de eventos independentes, � igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

Exemplo:

Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.
Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposi��o da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).

Solu��o:
p(V � B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V � B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposi��o da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.

Solu��o:
Com a reposi��o da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poder� ser calculada como:
P(V � B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%

Observe atentamente a diferen�a entre as solu��es dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.

Qual a probabilidade de no lançamento de um dado sair uma face ímpar?

Qual é a probabilidade de sair uma face com um número par de pontos?

Qual a probabilidade de se obter na face voltada para cima um número de pontos menor que três?

Qual a probabilidade de no lançamento de um dado sair uma face ímpar * 2 pontos 1 2 1 3 1 4 1 5?