Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando são 4 horas é 15 minutos?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Geometria

�ngulos

Giovana K.A.M.Viana
S�nia F.L.Toffoli
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Segmentos de reta e semirretas
• 2 O conceito de �ngulo
• 3 Notas hist�ricas sobre �ngulos
• 4 �ngulos consecutivos e adjacentes
• 5 �ngulos opostos pelo v�rtice
• 6 �ngulos congruentes
• 7 Medida de um �ngulo
• 8 Unidades de medida de �ngulos
• 9 Notas sobre o grau e o radiano
• 10 Alguns �ngulos especiais
• 11 Transferidor
• 12 Subdivis�es do grau
• 13 Alguns exerc�cios resolvidos
• 14 Interior e exterior de um �ngulo
• 15 �ngulos complementares, suplementares e replementares

1 Segmentos de reta e semirretas

Um segmento de reta orientado AB � um segmento de reta que tem in�cio em A e extremidade final em B.

Uma semirreta orientada AB � a parte de uma reta que tem in�cio em A, passa por B e se prolonga indefinidamente.

2 O conceito de �ngulo

�ngulo � a reuni�o de dois segmentos de reta orientados (ou duas semirretas orientadas) a partir de um ponto comum.

A interse��o entre os dois segmentos (ou semirretas) � o v�rtice do �ngulo e os lados do �ngulo s�o os dois segmentos (ou semirretas).

Nota: Mostraremos nas notas hist�ricas que n�o existe uma defini��o bem estabelecida de �ngulo.

Podem ser usadas tr�s letras, por exemplo AOC ou A�C para representar um �ngulo, sendo que a letra do meio O representa o v�rtice, a primeira letra A representa um ponto do primeiro segmento de reta (ou semirreta) e a terceira letra C representa um ponto do segundo segmento de reta (ou semirreta).

Usamos a nota��o \(\angle\) para um �ngulo, como por exemplo: \(\angle{AOC}\).

O mesmo �ngulo poderia ser representado pelas letras COA, e neste caso, deve ficar claro que foi escolhido como primeiro segmento (ou semirreta) aquele que cont�m o ponto C, enquanto que o segundo segmento (ou semirreta) foi escolhido como aquele que cont�m o ponto A, sendo o v�rtice do �ngulo o mesmo da situa��o anterior.

Um �ngulo pode ser orientado da seguinte forma. Centramos um compasso no v�rtice O do �ngulo e com uma certa abertura positiva (raio) tra�amos um arco de circunfer�ncia a partir de um ponto A localizado em um dos segmentos (ou semirretas) at� que este arco toque o outro segmento de reta (ou semirreta) em um ponto B.

O �ngulo AOB est� orientado positivamente se o arco foi constru�do no sentido anti-hor�rio enquanto o �ngulo BOA est� orientado negativamente, isto �, o arco foi constru�do no sentido hor�rio, aquele sentido seguido pelos ponteiros de um rel�gio.

Quando n�o h� d�vida ou necessidade de orienta��o, podemos indicar o �ngulo simplesmente pela letra que representa o v�rtice, como por exemplo: O. Uma outra nota��o para �ngulo � AOB, onde O � o v�rtice do mesmo e as letras A e B localizadas nos lados do �ngulo.

3 Notas hist�ricas sobre �ngulos

O conceito de �ngulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de rela��es envolvendo elementos de um c�rculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de �ngulos centrais ou inscritas em c�rculos, eram conhecidas desde o tempo de Hip�crates e talvez Eudoxo tenha usado raz�es e medidas de �ngulos na determina��o das dimens�es do planeta Terra e no c�lculo de dist�ncias relativas entre o Sol e a Terra. Erat�stenes de Cirene (276 a.C.-194 a.C) j� tratava de problemas relacionados com m�todos sistem�ticos de uso de �ngulos e cordas.

Desde os tempos mais antigos, os povos olham para o c�u na tentativa de encontrar respostas para a vida tanto na Terra bem como entender os corpos celestes que aparecem � nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a primeira ci�ncia a incorporar o estudo de �ngulos como uma aplica��o da Matem�tica.

Na determina��o de um calend�rio ou de uma hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de dist�ncias. Frequentemente, o Sol servia como refer�ncia e a determina��o da hora dependia da inclina��o do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (rel�gio de Sol).

Para obter a dist�ncia que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma dist�ncia que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver este problema, esticava-se o bra�o e se calculava quantos dedos comportava o espa�o entre a Lua e o horizonte ou ent�o, segurava-se um fio entre as m�os afastadas do corpo e se media a dist�ncia.

Os bra�os deveriam permanecer bem esticados para que a resposta fosse a mais fiel poss�vel. A medida era diferente de uma medida comum e este modo foi o primeiro passo para medir um �ngulo, objeto este que se tornou important�ssimo no contexto cient�fico.

Na verdade, n�o se sabe quando o homem come�ou a medir �ngulos, mas se sabe que estes eram medidos na Mesopot�mia e eram muito bem conhecidos quando Stonehenge foi constru�da, 2000 a.C.

Quanto ao conceito de �ngulo, temos algumas defini��es:

Gr�cia antiga: Um �ngulo � uma deflex�o ou quebra em uma linha reta.

Euclides: Um �ngulo plano � a inclina��o rec�proca de duas retas que num plano t�m um extremo comum e n�o est�o em prolongamento.

Em 1893, H.Schotten resumiu as defini��es de �ngulo em tr�s tipos:

1. A diferen�a de dire��o entre duas retas;
2. A medida de rota��o necess�ria para trazer um lado de sua posi��o original para a posi��o do outro, permanecendo entrementes no outro lado do �ngulo;
3. A por��o do plano contida entre as duas retas que definem o �ngulo.

Em 1634, P.Henrigone definiu �ngulo como um conjunto de pontos, defini��o esta que tem sido usada com mais frequ�ncia. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o s�mbolo < para representar �ngulo.

4 �ngulos consecutivos e adjacentes

�ngulos consecutivos: Dois �ngulos s�o consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro �ngulo.

1. A�C e B�C s�o consecutivos e OC � o lado comum.
   
2. A�B e B�C s�o consecutivos e OB � o lado comum.
   
3. A�B e A�C s�o consecutivos e OA � o lado comum.
   

�ngulos adjacentes: Dois �ngulos consecutivos s�o adjacentes se, n�o t�m pontos internos comuns. Na figura em anexo A�B e B�C s�o �ngulos adjacentes.

5 �ngulos opostos pelo v�rtice

Sejam duas retas concorrentes cuja interse��o seja o ponto O. Estas retas determinam quatro �ngulos. Os �ngulos que n�o s�o adjacentes s�o opostos pelo v�rtice.

Na figura anterior A�B e C�D s�o �ngulos opostos pelo v�rtice e tamb�m A�D e B�C s�o �ngulos opostos pelo v�rtice.

6 �ngulos congruentes

A congru�ncia entre �ngulos � uma no��o primitiva. Dizemos que dois �ngulos s�o congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.

Na figura em anexo, temos que ABC e DEF s�o �ngulos congruentes. Usamos a nota��o \(\cong\) para denotar o s�mbolos de congru�ncia de �ngulos. Dois �ngulos opostos pelo v�rtice s�o sempre congruentes.

7 Medida de um �ngulo

A medida de um �ngulo indicada por \(m(A�B)\) � um n�mero real positivo associado ao �ngulo de tal forma que satisfaz as segintes condi��es:

1. �ngulos congruentes possuem medidas iguais e, �ngulos que com medidas iguais s�o congruentes. Assim, \(A�B \cong D�F\) se, e somente se, \(m(A�B)=m(D�F)\).
2. Quando afirmamos que um �ngulo � maior do que outro, isto significa que a sua medida � maior do que a medida deste outro. Assim: \(A�B>D�F\), equivale a afirmar que \(m(A�B)>m(D�F)\).
3. A partir de dois �ngulos dados, podemos obter um terceiro �ngulo, cuja medida corresponde � soma das medidas dos �ngulos dados.
   

Se \(m(A�B)\) � a medida do �ngulo A�B e \(m(B�C)\) � a medida do �ngulo B�C, escrevemos \(A�C \cong A�B+B�C\) e al�m disso:

\[m(A�C) = m(A�B)+m(B�C)\]

8 Unidades de medida de �ngulos

A unidade de medida de �ngulo no Sistema Internacional � o radiano e o processo para obter um radiano � o seguinte:

Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, tra�amos um arco de circunfer�ncia AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do �ngulo AOB. Se o comprimento do arco AB for igual ao comprimento do segmento OA, dizemos que este �ngulo tem medida igual a 1 radiano ou 1 rad.

Um modo pr�tico de visualizar isto, � tomar uma reta horizontal passando pelo centro de uma circunfer�ncia. Indicamos o ponto A como uma das interse��es da circunfer�ncia com a reta horizontal. Tomamos um barbante com a mesma medida do raio OA da circunfer�ncia.

Fixamos uma das extremidades do barbante sobre o ponto A e esticamos o barbante sobre a circunfer�ncia at� atingir o ponto B, que coincide com a outra extremidade do barbante. Tra�amos ent�o o segmento de reta OB, que representa o outro lado do �ngulo AOB. A medida do �ngulo AOB � igual a 1 radiano.

Uma outra unidade muito usada nos primeiros n�veis educacionais � o grau, que � obtido pela divis�o da circunfer�ncia em 360 partes iguais, obtendo-se assim um �ngulo de 1 grau, sendo que a nota��o desta medida utiliza um pequeno o como expoente do n�mero, como \(1^0\).

Exemplo: Em geral, associa-se um n�mero a um �ngulo estabelecendo a raz�o entre este �ngulo e outro �ngulo tomado como unidade.

Multiplicando um �ngulo de 1 radiano por \(\pi\), obtemos um �ngulo \(A=\pi\) rad, cuja medida corresponde a 180 graus.

Pergunta: Voc� conhece a raz�o pela qual o c�rculo � dividido em \(360\) partes? Leia as notas hist�ricas que seguem.

Existe uma outra unidade de medida muito menos conhecida, denominada grado. 1 grado � a medida de um �ngulo de uma volta completa (360 graus) de uma circunfer�ncia por 400.

9 Notas sobre o grau e o radiano

Sobre os elementos geom�tricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco prop�s um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Cop�rnico, mas este material hist�rico se perdeu no tempo. Do ponto de vista hist�rico, o qu restou foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e dist�ncia do Sol � Terra e da Lua � Terra.

A divis�o do c�rculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e uma raz�o para isso era que o ano tinha 360 dias. Talvez exista outra raz�o hist�rica que justifique a exist�ncia de tal n�mero no contexto de estudos do povo babil�nio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e constru��es de cidades e tinha interesse pela Astronomia assim como pela sua rela��o com conceitos religiosos (eram politeistas) e para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numera��o com base 60 (sistema hexagesimal).

N�o se sabe quais as raz�es pelas quais, foi escolhido o n�mero 360 para se dividir a circunfer�ncia, sabe-se apenas que o n�mero 60 tem dois d�gitos e possui uma grande quantidade de divisores distintos:

raz�o forte pela qual este n�mero tenha sido adotado.

O primeiro astr�nomo grego a dividir o c�rculo em 360 partes foi Hipsicles (\(180\) a.C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a.C. encontramos uma generaliza��o de Hiparco para este procedimento.

Dividir um c�rculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas da �poca e � poss�vel que se tenha usado o n�mero 60 para representar \(1/6\) do total que passou a ser 360.

Outro fato que pode ter influenciado na escolha do n�mero 360 � que o movimento de transla��o da Terra em volta do Sol se realizava em um per�odo aproximado de 360 dias, o que era uma estimativa razo�vel para a �poca. Hiparco mediu a dura��o do ano com grande exatid�o ao obter 365,2467 dias, sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias.

Entendemos que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da divis�o do c�rculo em 360 partes iguais, bem como a divis�o de cada uma dessas partes em 60 partes menores e tamb�m na divis�o de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto �, que os babil�nios usavam fra��es com pot�ncias de 60 no denominador. As fra��es sexagesimais babil�nicas, usadas em tradu��es �rabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:

1. primeiras menores partes = sexag�simos.
2. segundas menores partes = sexag�simos de sexag�simos.

Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a l�ngua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:

1. primeiras menores partes = partes minutae primae.
2. segundas menores partes = partes minutae secundae.

de onde apareceram as palavras minuto e segundo.

De um modo popular, usamos a unidade de medida de �ngulo com graus, minutos e segundos. Na verdade, a unidade de medida de �ngulo do Sistema Internacional � o radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matem�tico Thomas Muir e o f�sico James T.Thomson, de modo independente. O termo radian apareceu pprimeiramente em um trabalho de Thomson em 1873.

Em 1884, muitos cientistas ainda n�o usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circular ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade � implementada ao longo do tempo.

10 Alguns �ngulos especiais

Com rela��o �s suas medidas, os �ngulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.

1. �ngulo agudo: �ngulo cuja medida � maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um �ngulo de 45 graus.
   
2. �ngulo reto: Um �ngulo reto � um �ngulo cuja medida � exatamente 90 graus. Assim os seus lados est�o localizados em retas perpendiculares.
   
3. �ngulo obtuso: Um �ngulo cuja medida est� entre 90 graus e 180 graus. Na figura seguinte temos o exemplo de um �ngulo obtuso de 135 graus.
   
4. �ngulo raso: �ngulo que mede exatamente 180 graus, os seus lados s�o semirretas opostas.
   
   Neste caso os seus lados est�o localizados sobre uma mesma reta.

O �ngulo reto (de 90 graus) talvez seja o �ngulo mais importante, pois o aparece em in�meras aplica��es pr�ticas, como no encontro de uma parede com o ch�o, os p�s de uma mesa em rela��o ao seu tampo, caixas de papel�o, esquadrias de janelas, etc

Um �ngulo de 360 graus � o �ngulo correspondente a uma (1) volta completa em um c�rculo. Este �ngulo inicia com o �ngulo de zero graus e termina com a medida de 360 graus (360 graus).

Nota: � poss�vel obter �ngulos maiores do que 360 graus mas os lados destes �ngulos coincidem com os lados dos �ngulos menores do que 360 graus na medida que ultrapassa 360 graus. Para obter tais �ngulos basta subtrair 360 graus do �ngulo at� que este seja menor do que 360 graus.

Por exemplo um �ngulo de 400 graus equivale a um �ngulo de 40 graus pois: 400-360=40 (graus).

11 Transferidor

Para obter a medida aproximada de um �ngulo tra�ado em um papel, usamos um instrumento denominado transferidor, que cont�m um segmento de reta em sua base e um semic�rculo na parte superior marcado com unidades de 0 a 180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os sentidos do arco para realizar a medida do �ngulo sem muito esfor�o.

Para medir um �ngulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no v�rtice do �ngulo, alinhe o segmento de reta \(OA\) (ou \(OE\)) com um dos lados do �ngulo e o outro lado do �ngulo determina a medida do �ngulo, como mostra a figura seguinte:

Temos que m(A�C)=70 graus. Na figura acima, podemos ler diretamente as medidas (em graus) dos seguintes �ngulos:

Nota: Os �ngulos A�B e E�B s�o suplementares. O mesmo acontece com os pares de �ngulos: A�C e E�C, A�D e E�D.

Exemplos:

1. O �ngulo B�C (em graus) pode ser medido mudando a posi��o do transferidor ou subtraindo dois �ngulos conhecidos.
   \(m(B�C)=m(A�C)-m(A�B)=70-26=44^0\)
2. O �ngulo \(D�B\) (em graus) pode ser medido mudando a posi��o do transferidor ou subtraindo dois �ngulos conhecidos.
   \(m(D�B)=m(E�B)-m(E�D)=154-60=94^0\)

12 Subdivis�es do grau

Em problemas reais, medidas de �ngulos nem sempre s�o n�meros inteiros, e devemos usar outras unidades menores como minutos e segundos. A nota��o para 1 minuto � \(1'\) e a nota��o para 1 segundo � \(1''\).

Assim

1. 1 grau = 1 �ngulo reto dividido por 90.
2. 1 minuto = 1 grau dividido por 60.
3. 1 segundo = 1 minuto dividido por 60.

Exemplo: Expressar a medida do �ngulo \(35^{\circ}48'36''\) como fra��o decimal do grau.

\[\begin{align*} 35^{\circ} 48'36'' & = 35^{\circ} + 48' + 36'' \\ & = 35^{\circ} + (48/60)^{\circ} + (36/3600)^{\circ} \\ & = 35^{\circ} + 0,80^{\circ} + 0,01^{\circ} \\ & = 35,81^{\circ} \\ \end{align*}\]

13 Alguns exerc�cios resolvidos

1. Qual � a medida do menor �ngulo formado pelos ponteiros de cada rel�gio?
   
   
   
   Solu��o: No rel�gio lil�s, o menor �ngulo formado pelos ponteiros � de aproximadamente 120 graus enquanto que no rel�gio verde o menor dos �ngulos formados pelos ponteiros � de aproximadamente 150 graus.
2. Para expressar \(2/3\) de 1 grau em minutos, basta tomar:

   \[(2/3)^0 = \frac23 {\times} 60' = 40'\]

3. Para escrever \(48'\) como uma parte fracion�ria do grau, basta tomar:

   \[48'=(48/60)^0=(4/5)^0= \frac45 \times 1^0\]

4. Para expressar \(3/4\) de \(1'\) em segundos, tomamos

   \[(3/4)' = (3/4){\times}60'' = 45''\]

5. Utilizando o gr�fico
   
   
   
   verificar que a medida indicada (apenas pelo �ngulo) na terceira coluna da tabela seguinte � correta.

   �ngulo1	�ngulo2	�ngulo3
   \(A�C\)	\(A�B\)	\(B�C\)
   \(62^0 20'\)	\(32^0 40'\)	\(18^0 40'\)
   \(A�C\)	\(B�C\)	\(A�B\)
   \(61^0 42'\)	\(19^0 3'20''\)	\(42^0 38'\)
   \(A�B\)	\(B�C\)	\(A�C\)
   \(43^0 42'20''\)	\(21^0 49'52''\)	\(65^032'12''\)
   \(A�C\)	\(A�B\)	\(B�C\)
   \(64^0 18'\)	\(45^0 25'34''\)	\(18^0 52'26''\)

6. Na figura
   
   
   
   as retas AC e BD se intersectam no ponto O. Pergunta-se:
   1. Quais s�o �ngulos agudos? Resposta: B�A e C�D.
   2. Quais s�o �ngulos obtusos? Resposta: B�C e D�A.
   3. Quais s�o os nomes de quatro pares de �ngulos suplementares? Resposta: S�o D�C e C�B, C�B e B�A, B�A e D�A, B�A e C�D.
   4. Quais �ngulos s�o opostos pelo v�rtice? Resposta: D�C e A�B, A�D e B�C.
   5. Identifique dois �ngulos adjacentes ao �ngulo D�A. Resposta: B�A e D�C.

Exemplo: Mostramos que �ngulos opostos pelo v�rtice s�o congruentes.

Realmente, se m(A�B)=\(x\), m(C�D)=\(y\) e m(C�B)=\(z\), como os pares de �ngulos A�B, B�C e B�C, C�D s�o suplementares, temos que \(x+z=180\) graus e \(y+z=180\) graus , portanto \(x=y\), o que implica que os �ngulos A�B e C�D s�o congruentes.

Problemas:

1. A soma de dois �ngulos adjacentes � 120 graus. Calcule a medida de cada �ngulo, sabendo que a medida de um deles � o triplo da medida do outro menos 40 graus.
   Solu��o: Se \(x\) e \(y\) s�o as medidas dos �ngulos, temos duas equa��es: \(x+y=120\) graus e \(x=3y-40\) graus. Resolvendo este sistema, obtemos \(x=40\) graus e \(y=80\) graus .
2. Dois �ngulos s�o suplementares, e a medida de um deles � 24 graus menor que o dobro da medida do outro.Calcule a medida de cada �ngulo.
   Solu��o: Se \(x\) e \(y\) s�o as medidas dos �ngulos, \(x+y=180\) graus e \(x=2y-24\) graus, ent�o \(x=112\) graus e \(y=68\) graus .
3. Um entre dois �ngulos complementares tem medida 18 graus menor do que o dobro da medida do outro. Calcule as medidas de cada �ngulo.
   Solu��o: Medidas dos �ngulos: 36 graus e 54 graus .
4. Dois �ngulos complementares t�m medidas respectivamente iguais a \(3x-10\) e \(2x+10\). Obter a medida de cada �ngulo.
   Solu��o: Os �ngulos medem 44 graus e 46 graus .
5. Em quantos graus, a medida do suplementar de um �ngulo agudo excede a medida do complementar deste �ngulo?
   Solu��o: Se \(x\) � a medida do �ngulo, ent�o a medida do suplementar de \(x\) � igual a \(180-x\) graus e a medida do complementar de \(x\) � igual a \(90-x\) graus, logo, a medida do suplementar de \(x\) que excede a medida do complementar de \(x\) � igual 90 graus.
   

6. Se \(3x-15\) graus � a medida de um �ngulo agudo, que restri��es devemos ter para o n�mero \(x\)?
   Solu��o: O �ngulo agudo mede \(3x-15\). Temos que um �ngulo agudo deve medir mais do que zero graus e menos do que 90 graus, assim, \(0<3x-15<90\), logo \(5<x<35\).
7. A soma das medidas de dois �ngulos complementares � 86 graus maior do que a diferen�a de suas medidas. Calcule a medida de cada �ngulo.
   Solu��o: Os �ngulos medem: 4 graus e 47 graus.

14 Interior e exterior de um �ngulo

O interior do �ngulo A�B � a interse��o do semi-planos \(\alpha_1\) com origem na reta OA e que cont�m o ponto B e do semi-plano \(\alpha_2\) com origem em OB e que cont�m o ponto A.

Assim, podemos obter o interior do �ngulo A�B, como a interse��o desse semi-planos, isto �:

\[\text{Interior de A�B } = \alpha_1 \cap \alpha_2\]

Se um �ngulo � menor do que um �ngulo raso, o interior deste �ngulo � uma regi�o convexa, o que significa que quaisquer dois pontos contidos no interior do �ngulo s�o extremidades de um segmento de reta inteiramente contido nesta regi�o.

Os pontos do interior de um �ngulo s�o pontos internos ao �ngulo e a reuni�o de um �ngulo com seu interior � um setor angular, tamb�m conhecido como �ngulo convexo. Alguns autores definem desta forma um �ngulo.

O exterior do �ngulo A�B � o conjunto dos pontos que n�o pertencem nem ao �ngulo A�B nem ao interior de A�B.

O exterior de A�B � a reuni�o de dois semi-planos, o semi-plano \(\beta_1\) com origem na reta OA e que n�o cont�m o ponto B e o semi-plano \(\beta_2\) com origem em OB e que n�o cont�m o ponto A. Assim, basta tomar a reuni�o desses dois semi-planos:

\[\text{Exterior de A�B } = \beta_1 \cup \beta_2\]

Se um �ngulo � menor do que um �ngulo raso, o exterior deste �ngulo � uma regi�o c�ncava, isto quer dizer que n�o � uma regi�o convexa. Os pontos do exterior de um �ngulo s�o pontos externos ao �ngulo e a reuni�o do �ngulo com seu exterior, tamb�m � conhecida como �ngulo c�ncavo.

15 �ngulos complementares, suplementares e replementares

Dois �ngulos s�o:

1. complementares: Se a soma de suas medidas � igual a 90 graus e um �ngulo � o \(\color{red}{com}\)plemento do outro.
2. suplementares: Se a soma de suas medidas � igual a 180 graus e um �ngulo � o \(\color{red}{su}\)plemento do outro.
3. replementares: Se a soma de suas medidas � igual a 360 graus e um �ngulo � o \(\color{red}{re}\)plemento do outro.

Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando são 4 horas é 15 minutos?

Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 4?

Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 12 horas é 30 minutos?

Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marcar 2 horas?