Capítulo 4
Solução de sistemas
lineares
Muitos problemas da engenharia, física e matemática estão associados à solução de sistemas de equações lineares. Nesse capítulo, tratamos de técnicas numéricas empregadas para obter a solução desses sistemas. Iniciamos por uma rápida revisão do método de eliminação gaussiana do ponto de vista computacional. No contexto de análise da propagação dos erros de arredondamento, introduzimos o método de eliminação gaussiana com pivotamento parcial, bem como, apresentamos o conceito de condicionamento de um sistema linear. Além disso, exploramos o conceito de complexidade de algoritmos em álgebra linear. Então, passamos a discutir sobre técnicas iterativas, mais especificamente, sobre os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
Considere o sistema de equações lineares (escrito na forma algébrica)
| a11x1+a12x2+⋯+a 1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+ a2nxn=b2⋮am1x1+am2x 2+⋯+amnxn=bm | (4.1) |
onde m é o número de equações e n é o número de incógnitas. Este sistema pode ser escrito na forma matricial
onde:
| A=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋮⋮⋱⋮am1am2⋯am n,x=x1x2⋮ xn e b=b1 b2⋮bm, | (4.3) |
onde A é chamada de matriz dos coeficientes, x de vetor das incógnitas e b de vetor dos termos constantes.
Definimos também a matriz completa (também chamada de matriz estendida) de um sistema como Ax=b como [A|b], isto é
| [A|b]=a11a1 2⋯a1nb1a21a22⋯a2nb2⋮⋮⋱⋮⋮ am1am2⋯amnbm | (4.4) |
Salvo especificado ao contrário, assumiremos ao longo deste capítulo que a matriz dos coeficientes A é uma matriz real não singular (isto é, invertível).
Exemplo 4.0.1.Consideramos o seguinte sistema linear
| x+y+z=14x+4y+2z=22x+y−z=0 | (4.5) |
. Na sua forma matricial, este sistema é escrito como
| Ax=b⇔111 44221−1︸Axyz︸x=120︸b | (4.6) |
.
A matriz estendida do sistema acima é
| E:=[A|b]=111 1442221−10 | (4.7) |
Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas entre elas que apresentam a forma a seguir:
A chave do lado esquerdo é o símbolo usado para sinalizar que as equações fazem parte de um sistema. O resultado do sistema é dado pelo resultado de cada equação.
Os coeficientes am,
am2, am3, ... , an3, an2, an1 das incógnitas x1, xm2,xm3, ... , xn3, xn2, xn1 são números reais.
Ao mesmo tempo, b também é um número real que é chamado de termo independente.
Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a 0 (zero): a1x1 + a2x2 = 0.
Portanto, aqueles que apresentam termo
independente diferente de 0 (zero) indica que o sistema não é homogêneo: a1x1 + a2x2 = 3.
Classificação
Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis. Lembrando que a solução das equações é encontrada pela substituição das variáveis por valores.
- Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).
- Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas.
- Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução.
As matrizes associadas a um sistema linear podem ser completas ou incompletas. São completas as matrizes que consideram os termos independentes das equações.
Os sistemas lineares são classificados como normais quando o número de equações é o mesmo que o número de incógnitas. Além disso, quando o determinante da matriz incompleta desse sistema não é igual a zero.
Exercícios Resolvidos
Vamos resolver passo a passo cada equação a fim de classificá-las em SPD, SPI ou SI.
Exemplo 1 - Sistema Linear com 2 Equações
Exemplo 2 - Sistema Linear com 3 Equações
Se D = 0, podemos estar diante de um SPI ou de um SI.
Leia:
- Escalonamento de Sistemas Lineares
- Sistemas de Equações
- Sistemas de Equações do 1º grau - Exercícios
- Determinantes
- Equação do Primeiro Grau
- Equação do Segundo Grau
- Retas Concorrentes
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.