Quais são os fatores que compõem o número 24?

Fatores e divisores: bom jogo para cálculo mental

Comentário

Na matemática, muitas vezes, as definições ficam afastadas umas das outras dando a impressão que não possuem nenhum tipo de relação. Neste plano de aula, vai ser mostrada a relação entre o fator e o divisor. Trata-se de duas definições aparentemente distintas, mas que no cálculo podem servir de suporte uma da outra.

Objetivo

Mostrar que os fatores de um número são também os seus divisores. A partir da relação do conceito de fator serão apresentadas estratégias para organizar e mostrar os divisores de um número. Relacionar essas estratégias com procedimentos que estimulam o cálculo mental.

Público alvo

5a série

Estratégias

1) Ilustrar, a partir de um exemplo numérico, a multiplicação ou o produto entre dois números naturais identificando cada um dos seus fatores. Por exemplo, em 3 x 4 = 12 temos o 3 e o 4 como fatores. Mas, além desses dois fatores, existem outros fatores para o 12? Essa pergunta poderá ser feita para outros casos que compõem o produto da tabuada. Quais são os fatores de 81? Quais são os fatores 64?

2) A partir das perguntas acima, registrar na lousa todas as possibilidades das respostas dadas pelos alunos. Por exemplo, no caso do 12, já sabemos que o 3 e o 4 são fatores, depois descobrimos o 2 e o 6 já que 2 x 6 = 12. Temos também 12 e 1 para 12 x 1 = 12. Assim, concluímos com os alunos que os fatores do número 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Aqui cabe lembrar a diferença entre fatores e fatores primos.

3) A partir dos registros feitos anteriormente mostrar a conseqüência da divisão do produto por cada um dos seus fatores. O fator passa a ser divisor. Assim, no exemplo do número 12, logo abaixo, mostramos que o conjunto dos fatores do 12 também são os seus divisores.

4) Formar grupos de no máximo quatro alunos. Escolher um grupo e pedir para que seus integrantes escolham números de 10 a 200 para serem distribuídos aos outros grupos com o objetivo de achar os fatores e os divisores de cada número.

5) Apresentar a regra que é utilizada para se achar os divisores de um número. Mostrar que essa regra usa os fatores primos do número para que os seus divisores sejam descobertos.

6) Pedir para os alunos registrarem na lousa os conjuntos dos divisores dos números que foram distribuídos para os grupos. Orientar para que todos observem os conjuntos dos divisores e perguntar: Qual é o maior divisor observado? Quais são os divisores comuns em relação a todos os divisores registrados na lousa? Desses divisores comuns, qual é o maior divisor comum?

7) Fazer a experiência de escrever algumas medidas mostrando os fatores do número que representam essas medidas. Por exemplo, 40 kg = 2 x 20 kg ou 8 x 5 kg ou ainda 4 x 10 kg. Aproveitar esse procedimento para visualizar a unidade de medida, por exemplo em 40 kg temos 4 x 10 x 1 kg. Quais são os fatores de 30 km? Quais são os divisores de 20 litros?

8) Quais são os divisores e os fatores comuns para as medidas de 15 metros e 10 metros? E para as medidas de 60 kg e 250 kg?

Atividades

1) Desenhar um segmento com 40 mm de lado e imaginar em quantas partes pode ser dividido. Achar os divisores de 40 e comparar com as respostas imaginadas.

2) Desenhar um retângulo com 12 cm de comprimento e 8 cm de largura. Achar os divisores de 12 e 8, e o máximo divisor comum desses dois números. Quadricular esse retângulo usando o valor do máximo divisor comum de 12 e 8 como a medida de cada quadrado. Com essa medida calculada, quantos quadrados formarão esse quadriculado?

3) Imaginar uma caixa com 40 cm de comprimento, 30 cm de largura e 15 cm de profundidade sendo preenchida com cubos. Qual deverá ser a medida máxima das arestas desses cubos?

Para tratarmos do assunto referente à decomposição em fatores primos por divisões sucessivas, precisamos entender separadamente o que é a fatoração e as divisões sucessivas.

Fatoração

Fatorar um número significa escrevê-lo em forma de produto. Quando isso acontece, os fatores do número devem ser termos numéricos primos. Para que um número seja considerado primo, ele deve ser divisível somente por 1 e por ele mesmo. Alguns exemplos de números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …

Veja alguns exemplos de fatoração:
 

• 4 = 2 x 2

• 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 4 x 4

• 42 = 2 x 3 x 7 = 6 x 7

Divisões Sucessivas

A decomposição de um número envolve as divisões sucessivas. Nesse método, o divisor sempre será um número primo que divide o dividendo. O resultado será o quociente, que, por sua vez, será dividido por outro número primo. As divisões sucessivas terminam quando obtemos 1 no quociente. Para poder compreender melhor, veja abaixo o algoritmo da divisão:

Dividendo |Divisor
Resto       Quociente

Faremos dois exemplos numéricos utilizando o processo das divisões sucessivas. Veja:

• Primeiro exemplo:

220|2    
   0 110|2  
         0 55|5 
             0 11|11
                 0 1

Como visto, a fatoração de 220 é 2 x 2 x 5 x 11. Para fatorar um número, inicialmente devemos procurar o menor número primo que divide o número dado. No caso de 220, o menor número primo que o divide é 2. Depois, devemos dividir o quociente encontrado pelo menor número primo que o divide e assim sucessivamente até obtermos 1 para o quociente.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

• Segundo Exemplo:

520|2   
   0 260|2   
        0 130| 2 
              0 65| 5 
                  0 13|13
                      0  1

520 = 2 x 2 x 2 x 5 x 13

Para um número ser decomposto por divisões sucessivas, ele precisa respeitar duas características, que são:

• O número que será decomposto deve ser inteiro, não primo e maior que um;

• A decomposição em fatores primos é única para cada número.

Fatoração numérica

As divisões sucessivas podem ser estruturadas de forma verticalizada para efetuarmos a fatoração numérica. Veja um exemplo:

100|2 → 2 é o menor número primo que divide o número 100;
  50|2 → 2 é o menor número primo que divide o número 50;
  25|5 → 5 é o menor número primo que divide o número 25;
    5|5 → 5 é o único número primo que divide 5.
    1|

Qual são os fatores que compõem o número 24?

O que são fatores que compõem o número?

Quais são os fatores de 36?

Qual e a fatoração de 32?