Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica na qual qualquer termo (an) é resultado do produto de seu antecessor (an – 1) com uma constante, chamada razão (q) da PG. É possível somar os termos de uma PG infinita dividindo o valor do primeiro termo dessa sequência por 1 – q (um menos a razão). Algebricamente, essa fórmula é escrita da seguinte maneira: Show
Veja também: Soma dos termos de uma PA finita Nessa fórmula, S é a soma dos termos da PG infinita, a1 é o primeiro termo dessa progressão e q é sua razão. Essa fórmula só é válida para progressões geométricas decrescentes, com 0 < q < 1. Em outras palavras, a razão da PG deve pertencer ao intervalo entre zero e 1, exceto por esses valores. Para testar a validade dessa fórmula, usaremos os exercícios resolvidos a seguir. Exercícios resolvidosExercício 1 Determine a soma dos termos da PG infinita na qual o primeiro termo é 10 e a razão é meio. A PG em questão é: (10, 5, 5 , … ) Podemos obter o próximo número dessa PG dividindo o termo que o antecede por 2. Logo, a razão dessa PG é ½. Na
fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos: Para resolver esse problema, usamos a divisão de frações. Para dividir duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Para mais informações a respeito desse procedimento, leia o texto “Multiplicação e divisão de frações", clicando aqui.
Encontre a soma dos termos da PG (1; 0,5; 0,25; 0,125; …). Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) O primeiro termo da PG é 1. Para encontrar sua razão, basta dividir qualquer termo por seu antecessor. 0,5 : 1 Para resolver essa divisão, basta multiplicar ambos os termos por 10. Assim, teremos: 5 : 10 = 0,5 Logo, a razão dessa PG é 0,5. O cálculo da soma dos termos da PG infinita pode ser feito usando q = 0,5 ou escrevendo esse decimal na forma de fração. Optamos pelo segundo método. Observe apenas que, encontrando a fração irredutível, o cálculo será facilitado: 0,5 = 5 :5 = 1 Substituindo o primeiro termo e a razão na fórmula da soma dos termos da PG infinita, teremos: Outras fórmulas e conhecimentosTambém existe a possibilidade de usar outras fórmulas e conhecimentos para encontrar a soma de termos de uma PG infinita. No exercício a seguir, usaremos a fórmula do termo geral da PG para encontrar o valor do primeiro termo da PG para depois calcular a soma de seus termos.
Calcule a soma dos termos da PG infinita que possui razão 1/4 (um quarto) e seu quarto termo é 1/16 (um dezesseis avos). Para resolver esse problema, precisamos descobrir o primeiro termo dessa PG. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral da PG:
IntroduçãoChama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente. Uma sequência pode ser finita ou infinita. Uma sequência numérica pode ser representada genericamente na forma: Por exemplo, na sequência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc. São de particular interesse, as sequências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na sequência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. Considere por exemplo a sequência
S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo. Dado o termo geral de uma sequência, é sempre fácil determiná-la. Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70. Conceito de Progressão Aritmética - PAChama-se Progressão Aritmética – PA – à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: Termo Geral de uma Progressão AritméticaSeja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
.............. an = a1 + (n – 1) . r Exemplos: Qual o milésimo número ímpar positivo? Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética, podemos generaliza-la da seguinte forma: Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica: Exemplos: Se numa Progressão Aritmética o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? Numa Progressão Aritmética de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? Propriedades das Progressões AritméticasNuma PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. Exemplo: Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante. Exemplo: Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas. 5 - Soma dos n primeiros termos de uma Progressão AritméticaSeja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). Temos: É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos
a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que: Daí então, vem finalmente que: Exemplo: Exercícios de progressão aritmética resolvidos e propostos:1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para
que a soma seja negativa? SOLUÇÃO: A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então: Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter: Portanto, n(16 – 2n ) < 0 Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. 2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x ,
x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale: SOLUÇÃO: Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica: Assim, teremos: 3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x. SOLUÇÃO: Logo, teremos a seguinte sequência: A partir do segundo termo da sequência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12. Portanto, a soma dos termos desta PA será: A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90. 4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão. SOLUÇÃO: 5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é: SOLUÇÃO: Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992). Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente: 6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60. SOLUÇÃO: Usando a fórmula do
termo geral, poderemos escrever: Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem: Substituindo numa das equações em negrito acima, vem: Logo, o centésimo termo
será: Agora resolva estes: UFBA - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a22 = k, Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83. |