A distância entre dois pontos no plano cartesiano é fundamental para compreendermos várias outras fórmulas da geometria analítica, a área da Matemática que analisa objetos geométricos no plano cartesiano, possibilitando estudar e desenvolver equações para tratar de forma algébrica os elementos geométricos. Show
Conhecemos como distância entre dois pontos A e B o comprimento do segmento de reta que liga esses dois pontos. Para calcular o comprimento desse segmento de reta, utilizamos uma fórmula deduzida do teorema de Pitágoras. Dados os pontos A(xA, yA) e B (xB, Yb), para calcular a distância entre esses dois pontos, utilizamos a fórmula dAB² = (xB – xA)² + (yB – yA)². Leia também: Qual é a equação geral da circunferência? Resumo sobre a distância entre dois pontos
Videoaula sobre a distância entre dois pontosO que é a distância entre dois pontos?Quando representamos dois pontos no plano cartesiano, chamamos de distância entre os dois pontos o comprimento do segmento que une esses dois pontos. Vejamos no plano cartesiano a seguir a representação do segmento que liga o ponto A e B: Para representar a distância entre os pontos A e B, utilizamos a notação dAB. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Qual a fórmula da distância entre dois pontos?Para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano, utilizamos o teorema de Pitágoras. Dados os pontos A(xA, xB) e B(xB, yB), é possível construir um triângulo retângulo cuja hipotenusa seja exatamente o segmento AB. Note que o triângulo representado no plano cartesiano é retângulo e possui catetos medindo (xB – xA) e (yB – yA). Além disso, a sua hipotenusa é o segmento AB, que a medida é dada pela distância entre os dois pontos, ou seja, dAB. Então, para calcular a distância do ponto A até o ponto B, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para deduzir a fórmula da distância entre dois pontos a seguir: Veja também: Como encontrar o baricentro de um triângulo? Cálculo da distância entre dois pontosPara calcular a distância entre dois pontos, basta conhecermos as coordenadas de cada um dos pontos e substituir na fórmula. Exemplo 1: Calcule a distância entre os pontos A( 3,5) e B(6,1). Substituindo os valores das coordenadas na fórmula: Exemplo 2: A distância entre o ponto C (2, y) e o ponto D (4,5) é igual a 3√3, então o valor de y é? Sabemos que dCD = 2√17, então temos que: dCD = √29 dCD ² = √29² dCD ² = 29 dCD² = (xD – xc)² + (yD – yc)² = 29 (4 – 2)² + (5 – y)² = 29 2² + 25 – 10y + y² = 29 4+ 25 – 10y + y² =29 29 – 10y + y²= 29 y² – 10y = 29 – 29 y² – 10y = 0 y( y – 10) = 0 y = 0 ou y– 10 = 0 y= 10 Então, as soluções possíveis são y = 10 ou y = 0. Leia também: Área de um quadrilátero na geometria analítica Exercícios resolvidos sobre a distância entre dois pontosQuestão 1 —Para mapear a cidade, os principais locais foram representados no plano cartesiano a seguir: Analisando a imagem, a distância entre o banco e a igreja é de: Resolução Alternativa B. Primeiro identificaremos as coordenadas do banco B( – 3, 2) e da igreja I(3, – 2). Agora, substituindo na fórmula de distância entre dois pontos, temos que: Questão 2 - (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é: A) -1 Resolução Alternativa C. Como a distância do ponta A até o ponto B é 10, então: dAB² = (xB – xA)² + (yB – yA)² Sabemos que dAB = 10 e podemos substituir também os valores das coordenadas dos pontos que já são conhecidos, logo: 10² = (6 – (–2) )² + (7 – y)² 100 = (6+2)² + 49 – 14y + y² 100 = 8² + 49 – 14y + y² 100 = 64 + 49 – 14y + y² 100 = 113 – 14y + y² 0 = – 100 + 113 – 14y + y² 0 = 13 – 14y + y² Encontramos uma equação do 2º grau, logo calcularemos delta: y² – 14y + 13 = 0 a = 1 b = – 14 c = 13 Δ = b² – 4ac Δ = ( – 14) ² – 4 · 1 · 13 Δ = 196 – 52 Δ = 144 Agora utilizando a fórmula de Bhaskara: Como calcular a distância entre os pontos no plano cartesiano?Dados os pontos A(xA, yA) e B (xB, Yb), para calcular a distância entre esses dois pontos, utilizamos a fórmula dAB² = (xB – xA)² + (yB – yA)².
Como fazer o cálculo do plano cartesiano?Basta tracejar duas retas - uma partindo do eixo x, outra do eixo y. O encontro entre as duas retas é o ponto. Temos os seguintes pares ordenados: (3,4), (-4,1), (-3,-3) e (2,-3). Esses pares determinam pontos no plano cartesiano.
Qual a distância entre dois pontos a (A distância entre os pontos é 3√5 unidades.
O que é a distância entre dois pontos?A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une. Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica.
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