Milla Santos Campos 0% acharam este documento útil (0 voto) 411 visualizações 1 página Medidas de Dispersão © © All Rights Reserved DOCX, PDF, TXT ou leia online no Scribd Você considera este documento útil?Este conteúdo é inapropriado?Denunciar este documento 0% acharam este documento útil (0 voto) 411 visualizações1 página Exercícios - Medidas de DispersãoEnviado porMilla Santos Campos Descrição:Medidas de Dispersão Descrição completa 0% acharam este documento útil (0 voto) 345 visualizações 2 páginas Distribuic a o Eletro Nica Nos i Ons © © All Rights
Reserved PDF, TXT ou leia online no Scribd Você considera este documento útil?0% acharam este documento útil (0 voto) 345 visualizações2 páginas 04 - Medidas de Dispersão - ExerciciosPular para a página Você está na página 1de 2 You're Reading a Free Preview Recompense a sua curiosidadeTudo o que você quer ler. A qualquer hora. Em qualquer lugar. Em qualquer dispositivo. Sem compromisso. Cancele quando quiser. TeoriaAs medidas de dispersão são amplitude, variância e desvio padrão e coeficiente de variação. Elas são usadas pada determinar a variação em um grupo de dados em relação à sua média. O que são as Medidas de Dispersão?Medidas de dispersão são parâmetros utilizados na estatística pra determinar a variação dos dados em um conjunto de valores. -Beleza, mas pra que usamos as medidas de dispersão? 😖 Pra ficar mais claro pra que servem as medidas de dispersão, eu quero que você imagine a seguinte situação: Você tem um professor de Probest muito carrasco, que pesa muito a mão na hora da correção e quase todo mundo da turma fica com uma nota super baixa: Exemplo de nota dos Alunos de Probabilidade e Estatística.Você quer fazer uma reclamação na coordenação, mas que tipo de dados você poderia entregar pra eles? Afinal a média da turma é baixa, mas se todo mundo tivesse tirado 5, não seria o fim do mundo! O problema aqui é que a média, que é uma medida de tendência central, não expressa da melhor maneira a realidade das notas da turma. Então é a hora das medidas de dispersão brilharem! As medidas de dispersão tornam a análise estatística mais confiável e completa! AmplitudeA amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor em um conjunto de dados. Para o nosso exemplo ali de cima, a amplitude seria: Esse dado não prova muita coisa, mas ajuda a gente perceber que existe uma discrepância bem grande entre as notas! VariânciaExistem dois tipos de variância, a variância populacional que leva em conta os dados de toda a população e a variância amostral , que como o próprio nome indica, leva em conta os dados de uma amostra. Variância populacionalA variância populacional pode ser calculada a partir da seguinte fórmula: Onde é um valor observado, é a média entre todos os valores da população e é o número de elementos da população. No nosso exemplo, a população é a turma de probest. Como temos poucos dados e temos acesso a todos eles, podemos calcular a variância populacional: A variância das notas de probest é alta, isso significa que o conjunto de dados varia muito entre si, ou seja, os dados são dispersos. Variância AmostralBeleza, mas e se não estivéssemos analisando só uma turma de probest? E se quiséssemos saber a média de todos os alunos que fazem essa matéria no Brasil? Como teríamos acesso a todos esses dados?! A solução é simples, a gente pode trabalhar com uma amostra! A variância amostral pode ser calculada usando a seguinte fórmula: Essa fórmula é bem parecida com a variância populacional, a diferença é o que aqui significa o número de elementos na amostra. Além disso quando subtraímos do estamos diminuindo o grau de liberdade. Desvio PadrãoO desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então também existem dois tipos de desvio padrão, o desvio padrão populacional e o desvio padrão amostral . Desvio padrão populacionalPodemos calcular o desvio padrão populacional a partir da seguinte fórmula: Desvio padrão amostralPara calcular o desvio padrão amostral, fazemos: Coeficiente de Variação AmostralO coeficiente de variação é simplesmente a razão entre o desvio padrão e a média amostral : O coeficiente de variação é usado para analisar a dispersão em termos relativos a seu valor médio quando duas ou mais séries de valores apresentam unidades de medidas diferentes. Sacou? Então, como o coeficiente de variação analisa a dispersão em termos relativos, ele será dado em . Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão em torno da média. De uma forma geral, temos: Dispersão e Coeficiente de variaçãoMedidas de Dispersão: Vídeo AulaFicou com alguma dúvida?! Então se liga nesse vídeo super completo sobre as medidas de dispersão, que o Responde Aí preparou pra você! Agora vamos praticar com exercícios?! VariânciaDesvio PadrãoCoeficiente de Variação AmostralMedidas de Dispersão: Vídeo AulaExercícios ResolvidosExercício Resolvido #1UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-1 Os dados da tabela abaixo são referentes a peso ( k g ) e comprimento ( d m ) de manilhas de cimento para uso em obras públicas. Calcule para as características avaliadas (peso e comprimento) as seguintes estatísticas:
Passo 1(a) Vamos usar: s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1 Temos que: x ¯ = ∑ i = 1 n x i n Então peso: x ¯ = 23 + 22,7 + … + 19,5 10 = 20,58 s x 2 = ( 23 2 + 22,7 2 + … + 19,5 2 ) - 10 × 20,58 2 9 = 14,2973 Comprimento: y ¯ = 104 + 105 + … + 99 10 = 101,3 s y 2 = ( 104 2 + 105 2 + … + 99 2 ) ) - 10 × 101,3 2 9 = 17,7889 Passo 2Desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então: Peso: s x = 14,2973 = 3,7812 Comprimento: s y = 17,7889 = 4,2177 RespostaEi, a resposta está no passo a passo :) Exercício Resolvido #2João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 378 - 17 Será mera coincidência? Considere o seguinte conjunto de dados: a) Calcule as variâncias amostrais de X e de Y, ou seja, S x 2 e S Y 2 b) Construa uma nova variável Z = X + Y e calcule a sua variância amostral S z 2 c) Compare S z 2 com S x 2 + S y 2 + 2 S x y d) Como você explica essa coincidência? Passo 1Queremos a Variância Amostral, portanto vamos usar: s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1 Temos que: x ¯ = ∑ i = 1 n x i n Passo 2
x - = 2 + 4 + 7 + 3 + 6 5 = 22 5 = 4,4 Logo S x 2 = 2 2 + 4 2 + 7 2 + 3 2 + 6 2 - 5 × 4,4 2 5 - 1 = 114 - 5 × 19,36 4 = 17,2 4 S X 2 = 4,3 Passo 3y - = 6 + 2 + 2 + 9 + 0 5 = 19 5 = 3,8 Logo S Y 2 = 6 2 + 2 2 + 2 2 + 9 2 + 0 2 - 5 × 3,8 2 5 - 1 = 125 - 5 × 14,44 4 = 52,8 4 S Y 2 = 13,2 Passo 4b) Construa uma nova variável Z = X + Y e calcule a sua variância amostral S z 2 z - = 8 + 6 + 9 + 12 + 6 5 = 41 5 = 8,2 Logo S Z 2 = 8 2 + 6 2 + 9 2 + 12 2 + 6 2 - 5 × 8,2 2 5 - 1 = 361 - 5 × 67,24 4 = 24,8 4 = 6,2 Passo 3c) Compare S z 2 com S x 2 + S y 2 + 2 S x y Agora vamos comparar o resultado obtido em S Z 2 com essa expressão dada. Lembre-se que S X Y = C o v ( X , Y ) e que por sua vez C o v X Y = ∑ i = 1 n x i y i - n x - y - n - 1 Vamos calcular então S X Y : C o v X Y = ∑ i = 1 n ( x i y i - n x - y - ) n - 1 = [ 2 × 6 + 4 × 2 + 7 × 2 + 3 × 9 + 6 × 0 - 5 4,4 × 3,8 ] 4 C o v X Y = S X Y = 61 - 83,6 4 = - 5,65 Então teremos: S X 2 + S Y 2 + 2 S X Y = 4,3 + 13,2 + 2 × - 5,65 = 17,5 - 11,3 = 6,2 Ou seja, S X 2 + S Y 2 + 2 S X Y = S Z 2 Passo 4d) Como você explica essa coincidência? Essa coincidência não é tããão coincidência assim. Se antes tínhamos a seguinte propriedade: V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2 C o v ( X Y ) Agora temos na versão amostral S X 2 + S Y 2 + 2 S X Y = S X + Y 2 Respostaa) 17,2 4 e 52,8 4 b) 6,2 c) <defs aria-hidden="true"> <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" aria-hidden="true"> </g></defs> S X 2 + S Y 2 + 2 S X Y = S Z 2 d) Se antes tínhamos a mesma relação para as variâncias, teremos para as variâncias amostrais. Exercício Resolvido #3EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98 , 102 , 100 , 100 , 99 , 97 , 96 , 95 , 99 e 100. Calcule as medidas resumo de dispersão. Passo 1Começando pela variância: s ² = ∑ i = 1 n ( x i - x - ) ² n - 1 Calculando a média dos dados, vemos que: x - = 98,6 Então... s 2 = 98 - 98,6 2 + 102 - 98,6 2 + 100 - 98,6 2 + 100 - 98,6 2 10 - 1 + 99 - 98,6 2 + 97 - 98,6 2 + 96 - 98,6 2 + 95 - 98,6 2 + 99 - 98,6 2 + ( 100 - 98,6 ) ² 10 - 1 s ² = 4 , 49 Passo 2E o desvio padrão é a raiz dissaê... s = 4,49 = 2 , 12 RespostaExercício Resolvido #4EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto Numa classe com 12 alunos de um curso de inglês, os alunos indicaram o número de outras línguas (além de português e inglês) com que tinham alguma familiaridade. O resultado foi o seguinte : 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 e 4. Obtenha as medidas resumo de dispersão (variância e desvio padrão). Passo 1Primeiro vamos calcular a média: x - = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 4 12 = 1,08 3 Então a variância: s ² = ∑ i = 1 n ( x i - x - ) ² n - 1 s ² = 0 - 1,08 3 2 × 4 + 1 - 1,08 2 × 5 + 2 - 1,08 2 × 2 + 4 - 1,08 2 12 - 1 s ² = 1 , 3561 E o desvio padrão, é só tirar a raiz da variância: s = 1,3561 = 1,1 645 RespostaExercício Resolvido #5Elaboração Própria Medidas as estaturas de 1017 indivíduos, obtivemos média de 162,2 c m e desvio padrão de 8,01 c m. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 k g, com um desvio padrão de 2,3 k g. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso? Passo 1Toda vez que for falado de maior variabilidade estamos lidando com o coeficiente de variação c v! Por que ele dá pra gente o quanto uma medida está variando em relação a própria média. Sabendo disso, vamos calcular o c v para as estaturas: c v = s x - = 8,01 162,2 = 0,0494 → 4,94 % E para os pesos: c v = s x - = 2,3 52 = 0,0442 → 4,42 % Passo 2Como o c v da estatura é maior, a maior variabilidade é da estatura! 4,94 % > 4,42 % RespostaExercícios de Livros RelacionadosPor que o desvio padrão é usado com mais frequência do que a variância? Ver Mais Transistores tem uma vida que é distribuída exponencialmente com parâmetro lambda. Uma amostra aleatória de Annie transistores é retirada. Qual é a função densidade conjunta de probabilidade da amostr Ver Mais Explique a relação entre a variância e o desvio padrão. Uma dessas duas medidas pode ser negativa? Explique. Ver Mais Dado um conjunto de dados, como você sabe se deve calcular σ ou s? Ver Mais Sejam X,X......X.uniformemente distribuidos no intervalo O a a.Mostre quc oestimador de momento de aed=2X.Eleeum estimador nao-tendencioso?Discuta quao razoavel e esse estimador. Ver Mais Ver Também Ver tudo sobre EstatísticaMedidas de Centralidade1º, 2º e 3º Quartil e Distância InterquartilLista de exercícios de Medidas de Dispersão |