Copie o quadro seguinte e complete o soma das medidas dos ângulos internos

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1. 1. ( C ) Problemas e exercícios complementares Orientações Resolver problemas e fazer exercícios são atividades essenciais para aprender matemática. Nisso estamos de acordo, certo? No entanto, algumas pessoas pergun- tam: quantos problemas e exercícios precisam ser feitos? Não há resposta para essa questão. Em princípio, quem se dedica mais à resolução de problemas diferentes e criativos adquire mais conhecimentos de matemática. Os problemas, os exercícios e as demais atividades propostos neste livro são suficientes para um bom aprendizado básico de matemática. Ainda assim, conside- rando que nem todas as escolas brasileiras destinam o mesmo número de aulas a essa disciplina (e nada há de errado nisso) e que nem todos os estudantes possuem o mesmo interesse por matemática (também nada há de errado nisso), oferecemos, nesta seção, alguns problemas e exercícios de caráter complementar. Só se deve dar atenção a eles após garantir o fundamental e se restar tempo na programação. Esta seção é, portanto, optativa. capítulo 1 NÚMEROS PRIMOS Números primos 4. Escreva, em seu caderno, na forma de multi- plicação de números primos: 1. Há oito números primos entre 1 e 20. Quais a) 21 c) 30 são? b) 42 d) 90 2. 7, 23 e 29 são números primos. a) Escreva em seu caderno todos os divisores 5. O número 56 pode ser escrito como soma de dois números primos: 56 = 3 + 53. Até hoje de cada um deles. não se conhece um número par, maior que b) Quantos divisores tem um número primo? 2, que não possa ser escrito desse modo. Escreva em seu caderno como soma de dois 3. Copie e complete: primos os números pares abaixo. Dica: 2 a) 28 = ⋅7= ⋅7 consulte uma tabela de números primos. 2 b) 45 = ⋅9= ⋅ a) 12 c) 58 3 c) 135 = 9 ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅5 b) 42 d) 120 ( problemas e exercícios complementares ) 269
2. 2. Decomposição em fatores primos 11. Considere os números A = 24 ⋅ 52 e B = 2 ⋅ 32 ⋅ 5. Calcule o mmc (A; B). Atenção: você não 6. Verifique se estes números são primos: precisa calcular o valor de A nem o de B. a) 157 b) 253 c) 267 12. Responda, explicando o porquê: 7. A decomposição em fatores primos de 202 é a) O mmc de 10 e 12 é igual a 10 ⋅ 12? 2 ⋅ 101. Aproveite essa informação e escreva b) O mmc de 7 e 9 é igual a 7 ⋅ 9? em seu caderno a decomposição em fatores c) O mmc de 8 e 24 é igual a 24? primos de 303, 404, 505 e 606. d) O mmc de 10 e 35 é igual a 35? 8. Faça o que se pede: a) Decomponha 111 em fatores primos. 13. Calcule em seu caderno: a) mmc (11; 50; 110) b) Sem fazer novas decomposições, escreva em seu caderno como multiplicações de b) mmc (24; 36; 40) primos os números: 222, 333, 444, 555 e 666. 14. Responda em seu caderno: a) Qual é o menor número positivo divisível 9. Calculando mentalmente, decomponha em por 25 e também por 65? fatores primos os números 275 e 420. b) Qual é o maior número divisível por 25 e também por 65? Cálculo do mmc 15. Um colecionador possui entre 150 e 200 moedas. Agrupando-as de 12 em 12, sobram 10. Calcule em seu caderno: 10 moedas; agrupando-as de 15 em 15 ou de a) mmc (15; 70) c) mmc (15; 25; 30) 36 em 36 também sobram 10. Quantas moe- b) mmc (21; 35) das tem esse colecionador? capítulo 2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Revendo as frações A simples observação da figura permite con- cluir que 1 + 1 = 3 . 1. Estas frações indicam quantidades iguais: 4 8 8 3 Use esse recurso e dê os resultados em seu 2 caderno: 1 2 3 1 1 1 1 = = a) − c) + 3 6 9 4 8 8 2 2 1 1 1 1 3 b) + d) − 4 2 2 8 Escreva em seu caderno outras três frações que indiquem a mesma quantidade que . 1 3. Dona Marta vai digitar um texto e calcula 3 que gastará 10 horas nesse trabalho. 2. Observe a barra dividida em partes iguais: a) Que fração do trabalho ela fará em 1 hora? 1 1 b) Depois de trabalhar 3h, que fração do 8 4 trabalho ainda faltará fazer? c) Depois de trabalhar 4h30min, que fração do trabalho ainda faltará fazer? 1 270
3. 3. 4. 9. Problemas e exercícios complementares Nas igualdades seguintes, determine os va- Fabiana achou que para somar duas frações lores de A, B e C: deve-se somar o numerador de uma com o da outra e, também, somar os denominado- A 30 a) = res das duas frações. Veja o que ela fez: 7 42 24 B b) = 40 5 9 72 c) = C 16 5. Verifique se as igualdades abaixo são verda- deiras ou falsas: a) Explique por que o cálculo de Fabiana 0 2 não está correto. a) =0 d) = 0, 222 … 12 9 b) Faça o cálculo correto. 4 2 b) =1 e) = 0, 2 10. Efetue em seu caderno e simplifique o re- 4 9 sultado, se possível: 1 3 2 5 1 1 c) = 0, 25 f) =3 a) − c) − 4 1 7 11 6 5 6. Escreva, em seu caderno, em ordem crescente, 1 1 1 1 1 1 b) − − d) + − as frações seguintes. Dica: elas podem ser 20 10 5 18 9 3 transformadas em números decimais. 32 1 1 1 16 11. No Brasil, uma modificação na Constituição , , , e 16 7 5 10 32 3 só pode ser feita se estiverem de acordo 5 1 3 7. Desenhe um retângulo, pinte dele, de- dos deputados e dos senadores. Imagine 3 5 11 7 pois divida a parte pintada em 4 partes iguais que dos deputados e dos senadores 20 20 1 1 queiram mudar a Constituição. Que fração e responda: quanto é de ? 4 3 dos deputados falta aderir para que a mu- dança ocorra? E quanto aos senadores, qual Adição e subtração é essa fração? 8. Os recipientes cilíndricos A e B têm, mesmas 12. Efetue em seu caderno, simplificando o re- dimensões: sultado sempre que possível: 11 1 7 a) + − 45 18 36 A 3 1 5 b) − − 8 4 6 3 1 5 c) − + 8 4 6 7 3 1 A B B A B d) + − 100 50 25 1 2 1 e) − + − Que fração do recipiente B ficou com líqui- 45 15 36 do? Responda, escrevendo e efetuando uma 2 1 3 f) + − operação com frações. 3 7 5 ( problemas e exercícios complementares ) 271
4. 4. 13. Um mês antes das eleições, o prefeito man- tura, substituiu por água e misturou bem. 2 Nessa última mistura, o concentrado de ma- dou asfaltar de uma estrada de 60 km. 5 racujá corresponde a que fração do total? Depois, nos seis meses seguintes, foram as- 2 faltados mais do comprimento total da 15 estrada. a) Que fração da estrada ainda precisa ser asfaltada? b) Quantos quilômetros ainda precisam de asfalto? Multiplicação 14. Efetue em seu caderno, simplificando o re- sultado sempre que possível: 2 3 ⎛ 2⎞ ⋅ ⎜− ⎟ ⎛ 2⎞ Divisão a) c) ⎜ − ⎟ 5 ⎝ 7⎠ ⎝ 3⎠ 3 2 9 ⎛ 2⎞ 19. Faça o que se pede: b) − ⋅ d) ⎜ − ⎟ 3 8 ⎝ 3⎠ 1 a) Por quanto devo multiplicar para ob- 5 ter 1? 15. Obtenha o valor das expressões numéricas: 1 ⎛3 2⎞ b) Quanto é 1 : ? 5 a) ⎜ + ⎟ ⋅ 30 ⎝5 6⎠ c) Com base na resposta anterior e sem usar ⎛1 1 1⎞ ⎛ 1⎞ 3 1 b) ⎜ + + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ qualquer regra, dê o resultado de 4 : . ⎝2 2 2⎠ ⎝ 2⎠ 5 2 ⎛ 1⎞ 2 c) ⎜ ⎟ ⋅ 25 − ⋅ 3 20. Efetue em seu caderno: ⎝ 5⎠ 3 4 ⎛ 1 ⎞ a) : ⎜1 − ⋅ 5⎟ 2 5 ⎝ 3 ⎠ 16. Fiz 5 de minha lição em 1 hora, exatamen- te. Quanto tempo vou gastar para completar ⎛8 7⎞ ⎛1 1⎞ b) ⎜ + ⎟ : ⎜ + ⎟ ⎝3 a lição? 6⎠ ⎝ 3 6⎠ ⎛1 1⎞ ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞2⎤ 1 17. Uma herança foi dividida assim: para pa- c) ⎜ 3 − 2 ⎟ : ⎝ ⎠ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 5 ⎢3 ⎝ 2⎠ ⎥ ⎣ ⎦ gar impostos, metade do restante para a viúva 3 4 e a outra metade foi repartida igualmente − ⋅3 2 3 entre os dois filhos. Que fração da herança d) 1 3 − 2⋅ recebeu cada filho? 2 8 18. Este problema é um desafio! 21. Efetue as divisões em seu caderno, operan- Um vendedor de sucos misturou 1 parte de do na forma de fração, que é mais fácil. Dica: concentrado de maracujá e 2 partes de água. 0,25 = 1 . 4 Experimentou, achou o suco forte e resolveu a) 3,7 : 0,25 c) 12 : 0,75 economizar. Retirou 1 do líquido da mis- 4 b) 6,25 : 0,125 d) 0,65 : 3,25 272
5. 5. capítulo Problemas e exercícios complementares 3 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS r A Usando os instrumentos de 85° desenho 1. Em seu caderno, construa o triângulo ABC ˆ ˆ sabendo que A = 70º, C = 50° e AC = 4 cm. Atenção: primeiro, faça o rascunho à mão livre. s 6. Atenção: em matemática, há problemas nos 2. Em seu caderno, construa o triângulo ABC quais aquilo que se pede é impossível, isto sabendo que AB = 3,8 cm, BC = 6,1 cm e é, não existe. Noutros casos, há mais de uma CA = 4,5 cm. resposta para o problema. Sabendo disso, tente construir um triângulo ABC com as 3. Esta logomarca, de conhecida empresa japo- seguintes medidas: nesa, foi construída com base em um triân- gulo regular. Reproduza-a em seu caderno ˆ ˆ a) C = 50o, B = 65o e BC = 48 mm. em tamanho maior. ˆ b) A = 75o e AC = 48 mm. ˆ ˆ ˆ c) A = 40o, B = 50o e C = 60o. 7. Cada uma das cidades A, B e C possui sua pró- pria estação de rádio. Os alcances das três esta- ções são de 40, 65 e 60 quilômetros, respecti- 4. A tabela refere-se ao vôo que parte da cida- vamente. A cidade A dista 55 km de B e 70 km de X com destino a Y, fazendo escalas nas de C. A distância entre B e C é de 85 km. cidades R e S. Faça o desenho correspondente a essa situação, Distâncias adotando a escala 1 cm para 10 km. Pinte de Trecho Rotas azul a região em que é possível sintonizar as (km) XR 222 250 três estações. Pinte de vermelho as regiões em RS 147 230 que é possível escutar duas delas e de laranja SY 100 370 aquelas em que só se escuta uma das estações. a) Desenhe o trajeto feito pela aeronave. Construindo formas Use a escala 1 mm para 5 km. tridimensionais b) Nesse vôo com escalas o avião percorre, aproximadamente, quantos quilômetros a 8. Quando o cubo for montado, CD se juntará com AD e o ponto C se unirá aos pontos A e G. mais do que num vôo em linha reta de X para Y? A B c) Qual é a rota XY? C D E F G 5. Um robô caminha sobre a reta r. Chegando em A, vai girar 85° à direita e avançar 5 cm sobre a reta s, até B. Ele girará, então, 300° H I J K L à direita e seguirá sobre a reta t, até en- contrar a reta r no ponto C. Construa o tra- M N jeto do robô e depois responda em seu a) Indique, em seu caderno, com setas, os caderno: no triângulo ABC, quais são as segmentos que se unirão quando o cubo ˆ medidas do ângulo C e dos lados AC e BC? estiver montado. ( problemas e exercícios complementares ) 273
6. 6. b) Faça o mesmo para os pontos, usando 10. Patrícia montou um cubo a partir desta planifi- setas com linhas pontilhadas. cação: 9. Montando o cubo, quais serão os pares de faces opostas? a) E Qual é o cubo que ela obteve? Justifique a A B C D resposta. F a) b) c) d) b) O S 11. Construa a planificação e monte uma pirâ- A R L mide de base triangular em que todas as fa- ces são triângulos eqüiláteros de lados iguais C a 5 cm. capítulo 4 APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA Neste capítulo, você decide quando fazer cálculo mental, quando usar papel e lápis ou calculadora. 320 g Um pouco da matemática do RS 1,10 100 g RS 2,00 200 g RS 3,00 dia-a-dia 1. Um comerciante compra três dúzias de certo produto por R$ 198,00 e vende a unidade Usando porcentagens por R$ 10,00. Tendo vendido apenas seis unidades, percebe que o preço é muito alto 5. Em 2001, com a crise de energia, caíram as e decide reduzi-lo para R$ 7,00. Com o preço vendas de eletrodomésticos. Como conseqüên- menor, vende todas as unidades restantes. cia, em alguns casos, houve redução no preço Quanto obteve de lucro? desses produtos. Veja: 2. Tirei 26 pontos num total de 40 na prova de Produto Custava (RS) Custa (RS) Geografia. Qual é a minha nota na escala de 0 a 10? 282,00 260,00 3. Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa- d’ água com a forma de um bloco retangular de 70 cm de comprimento, 40 cm de largura e meio metro de altura? 798,00 738,00 4. Qual das três embalagens sai mais em conta para o consumidor? Explique sua resposta. 274
7. 7. 9. Problemas e exercícios complementares Inspire-se no exemplo do caderno e dê a Em 2000, a rede de lanchonetes Mac Dog porcentagem de redução do preço desses abriu mais 7 casas, ficando com 70 lancho- produtos. netes. A rede concorrente, a Big Cat, que tinha 40 lanchonetes, abriu outras 5. Cal- cule a porcentagem de lanchonetes abertas em relação ao total anterior e diga qual das redes está crescendo mais percentualmente. 10. Bia é ceramista e sabe que, no processo de cozimento a argila sofre contração. Ela pla- neja fazer uma placa retangular que, após o cozimento, tenha 50 cm × 45 cm e sabe que, 6. Da última vez em que encheu o tanque do na contração, em média, o comprimento e a carro, minha mãe gastou R$ 75,00. Depois largura da placa reduzem 12 %. disso, o preço do combustível subiu 7 %. Quanto ela gastará na próxima vez? a) Quais devem ser as dimensões da placa de argila antes do cozimento? 7. Responda em seu caderno: b) Compare as áreas da placa, antes e de- a) 21 correspondem a quanto por cento de pois do cozimento. De quanto por cento 60? a área foi reduzida? b) 48 correspondem a quanto por cento de 80? 11. Nas lâmpadas incandescentes, apenas 10 % da energia elétrica são transformados em flu- 8. O dinheiro aplicado em uma caderneta de xo luminoso. Uma lâmpada incandescente de poupança é acrescido no final do mês de 0,3 % 40 watts, por exemplo, produz 600 lúmens de juros e mais uma porcentagem igual à enquanto uma lâmpada fluorescente de taxa de referência (TR) do mês. Se você apli- 20 watts produz 1 600 lúmens. Lúmem é uma car R$ 1 000,00 no início de um mês e a TR unidade de fluxo luminoso. Determine quan- correspondente for 0,115 %, quanto terá na to por cento essa lâmpada fluorescente é mais poupança no final do mês? econômica que a incandescente. capítulo 5 RETOMANDO A ÁLGEBRA Usando fórmulas e equações 3. Resolva em seu caderno as equações: a (a + 1) 3x + 25 1. Na fórmula F = , calcule o valor de a) = 180 2 12 F para os seguintes valores de a: 4x − 20 b) = 12 7 a) 3 b) –3 c) 2,2 d) –2,2 4. Em uma escola, a nota final F de cada aluno 2. A escada da figura foi construída de acordo é calculada assim: com a fórmula a + 2b = 63. Use as informa- B 1 + 2 B2 + 3B 3 + 4 B 4 ções da figura e descubra o valor de b. De- F = , sendo que B1, 10 pois, calcule a. B2, B3 e B4 são as notas bimestrais. Uma aluna obteve nota 7,0 nos três primei- a b 48 cm ros bimestres e deseja ter, no final, F = 8,0. Que nota ela deverá obter no quarto bi- a e b são dados em centímetros. mestre? ( problemas e exercícios complementares ) 275
8. 8. 5. Celsius, Fahrenheit e Kelvin são nomes de 9. Resolva em seu caderno: escalas de temperatura. As conversões das x x a) − = x − 46 temperaturas em Celsius para temperaturas 24 12 em Fahrenheit e Kelvin se fazem pelas fór- x x b) x − − =6 mulas: F = 9 C + 32 K = C + 273 2 6 5 Um técnico de laboratório precisa fazer uma 10. Resolva em seu caderno: experiência em que a reação química ocorre 3x + 2 x+4 a) − =x a 400º K, mas só dispõe de um termômetro 5 3 na escala Fahrenheit. Nessa escala, a que x − 2 7 (x + 4) −5 (x + 2) temperatura ocorre a reação? b) − = 2 2 2 O que é álgebra Resolvendo problemas 6. No quadro, há duas expressões algébricas 11. Divida o número 210 em partes proporcio- isoladas (isto é, não estão ligadas a equações nais a 5 e 7. ou fórmulas). Quais são? 12. Faça o que se pede: 1 a) Calcule de 14, some com o dobro de 7 14 e subtraia a metade de 14. Qual é o resultado? b) Agora, no lugar de 14, ponha x. Indique x as operações (isto é, + 2x, etc.) e 7 7. Escreva em seu caderno a expressão algébri- iguale ao resultado que você obteve no ca correspondente a: item a. a) quinze por cento de uma quantia x. c) Resolva a equação obtida no item b. b) dois terços de um número x. c) o preço de x sorvetes, cada um dos quais 13. Escreva em seu caderno a equação corres- pondente a essa sentença: “A terça parte de custa R$ 1,20. um número, somada com seu consecutivo, d) o dobro do número x, somado com 7. dá 49”. Descubra qual é esse número, resol- e) o dobro da soma de x com 7. vendo a equação. f) o perímetro de um retângulo de lados medindo x e y. 14. A terça parte do consecutivo de um número é igual a esse número somado com 11. Que 8. Um depósito de bebidas vende embalagens número é esse? de 2 L de refrigerante a R$ 1,50 cada um e garrafões de água de 5 L a R$ 1,20 cada um. 15. Veja as queixas de André: a) Quanto recebe o depósito na venda de 48 refrigerantes e 60 garrafões? b) O preço de r refrigerantes é 1,50 r. E o preço de g garrafões, quanto é? c) O depósito vendeu r refrigerantes e g garrafões, recebendo R reais. Diga qual destas três fórmulas é a correta: R = 1,50 r + 1,20 g ou R = 1,50 r · 1,20 g ou R = 2,70 g r 276
9. 9. Problemas e exercícios complementares a) Chame o salário de x e vá subtraindo os veículos que restarem vão para a Bolívia e gastos. O resultado é a dívida (que é um 400 veículos estão destinados ao mercado número negativo). Qual é a equação interno brasileiro. obtida? Quantos veículos a fábrica deverá produzir? b) Resolva em seu caderno a equação e des- cubra o salário de André. 17. Três sócios devem dividir um lucro de R$ 750 000,00, proporcionalmente ao número 16. No próximo mês, a produção da Piat de cotas que cada um tem na empresa. O Automóveis terá esse destino: 200 veículos sócio A tem 40 cotas, B tem 50 e C tem 60. 1 Quanto receberá cada um? serão exportados para o Paraguai, dos 5 capítulo 6 ÂNGULOS, PARALELAS E POLÍGONOS Algumas propriedades dos c) r ângulos 5x + 8° ˆ 6x – 12° 1. Sabendo que AOB mede 45°, quanto medem ˆ ˆ BOC e COD ? s r//s B 4. O quadrilátero da figura é um paralelogramo. A O C b c D a d 2. As retas a e b são paralelas. Descubra as medidas x e y nos seguintes casos: ˆ ˆ a) Os ângulos a e b são suplementares. Por a) b) quê? a b 72° ˆ ˆ b) Os ângulos c e d também são suplemen- y x tares? 42° x y ˆ ˆ ˆ c) Qual é a soma das medidas de a , b , c e a b 61° ˆ d? 3. Resolvendo equações em seu caderno, obte- 5. Determine as medidas x e y dos ângulos as- sinalados. Mas atenção! Não dê apenas a nha as medidas dos ângulos assinalados: resposta. Justifique seu raciocínio. a) a b x + 100° y m 160° – 3x 40° x b) n 3x + 10° x + 10° a // b e m // n ( problemas e exercícios complementares ) 277
10. 10. 6. O mapa de navegação aérea está indicando brar, use a fórmula da soma das medidas dos que a rota AB é 77. (Essa é a rota do vôo que ângulos de um polígono.) parte de A com destino a B.) 13. Veja como se pode construir um pentágono N regular de lados iguais a 3 cm, usando só a N direção norte régua e o transferidor: 77° ? B 3 cm ? 0 1 2 3 4 77 A Qual é a rota BA? Um segmento de reta de 3 cm. 108° Soma das medidas dos ângulos 80 90 100 internos de um triângulo 50 60 70 110 120 13 0 14 40 7. 0 ˆ No triângulo LIA, o ângulo L é o dobro do 15 30 0 160 20 ˆ ˆ ângulo I e A mede 27°. Qual é a medida 170 10 ˆ 180 de L ? 0 8. No triângulo MIA, os lados MI e MA são iguais Um ângulo de 108°. ˆ ˆ 4 e I mede 50°. Determine as medidas de M e ˆ de A. 3 9. Descubra a medida dos ângulos internos do 2 polígono regular de oito lados. 3 cm 10. No centro da estrela há um pentágono regu- 1 lar. Calcule os ângulos das pontas da estrela. 0 Outro segmento de 3 cm. Você sabe como prosseguir? Construa o pen- tágono, mas faça-o com lados de 5 cm. 14. Existe algum polígono regular cujos ângulos internos medem 160° cada um? Se existe, Soma das medidas dos ângulos quantos lados ele tem? Sugestão: escreva internos de um polígono em seu caderno uma equação e resolva-a. 11. Existe uma fórmula para calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um 15. Descubra quantos lados tem um polígono polígono. Imagine que, durante a realização regular sabendo que a medida de seus ângulos de um concurso, você não se lembre dela. internos é: Mostre que raciocínio faria para calcular a) maior que 90° e menor que 110°; aquela soma, mesmo não lembrando a b) maior que 140°; fórmula. c) menor que 180°; 12. Qual é a medida de cada ângulo interno de d) menor que 90°; um polígono regular de 20 lados? (Se lem- e) menor que 60°. 278
11. 11. Classificação dos polígonos 18. Problemas e exercícios complementares A reta r, paralela a um dos lados do triângu- lo regular A, divide-o em duas partes, B e C. 16. Nos diagramas seguintes, suponha que P é a região dos polígonos; A é a região dos r polígonos que têm os lados iguais; B é a re- A C gião dos polígonos que têm os ângulos iguais; R é a região dos polígonos regulares. Qual é B o diagrama correto? Explique sua resposta. Responda em seu caderno: I B P A a) Quais são as medidas dos ângulos do tri- ângulo A? R b) Quais são as medidas dos ângulos do tri- ângulo B? c) Quais são as medidas dos ângulos do II B A P trapézio C? R d) O triângulo A é eqüilátero? e) O triângulo B tem lados iguais? f) O triângulo B é regular? g) Um triângulo eqüilátero pode não ser III P eqüiângulo? A B h) Todo triângulo eqüilátero é regular? R 19. Sabendo que T é a região dos triângulos, A é a região dos triângulos isósceles e B é a re- 17. Observe os polígonos na malha quadricula- gião dos triângulos eqüiláteros, dos diagra- da: mas abaixo qual está correto? Explique sua resposta: I T A B A C B II T A B D E F III A T B Copie a tabela em seu caderno e complete-a: Losango D, E 20. Copie em seu caderno o diagrama correto da Retângulo /////// questão anterior e indique onde estão os tri- Paralelogramo /////// ângulos: Quadrado /////// a) isósceles que não são eqüiláteros; Quadrilátero /////// b) escalenos. ( problemas e exercícios complementares ) 279
12. 12. capítulo 7 POTÊNCIAS E RAÍZES Expoentes menores que 1 9. Imagine que o raio laser mais “curto” produ- zido em laboratório dura 10 femtossegundos, 1. Calcule em seu caderno: sendo que 1 femtossegundo é 1 quatrilhoné- a) 26 e) 2–3 simo do segundo. Copie em seu caderno e complete, trocando b) 43 f) 3–2 pelo expoente correto: c) (–2)5 g) 3–3 1 femtossegundo = 0,000 000 000 000 001 s d) (–2)6 h) (–3)–3 = 10 s 2. Copie em seu caderno e complete: Propriedades das potências a) 100 mil = 100 000 = 10 10. Em cada expressão há três potências. Escre- b) 1 milhão = = va em seu caderno a expressão como uma só c) 1 bilhão = 1 000 000 000 = potência: d) 1 trilhão = = 1012 a) 0,75 ⋅ 0,77 : 0,74 11 7 13 3. Copie em seu caderno e complete: ⎛ 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞ b) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ 1 ⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠ a) 1 milésimo = 0,001 = = 10 103 b) 1 centésimo de milésimo = = 10–5 11. Em seu caderno, escreva cada expressão na forma 15 . c) 1 milionésimo = 0,000 001 = 10 a) (157)–3 b) (32 ⋅ 52)4 d) 1 décimo de milionésimo = = 10 12. Em seu caderno, escreva de maneira mais 4. Calcule em seu caderno: simples, com um só número na base e um só a)5–1 – 2–2 c) 6–2 : 60 no expoente: −2 −1 3 −2 a) (311)3 c) 57 ⋅ 59 : 530 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ d) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ b) [(310)2]3 d) x7 ⋅ x8 ⋅ x5 Notação científica 13. Usando a tabela e as propriedades da potenciação, calcule: 5. As bactérias têm um comprimento médio de a) 144 ⋅ 144 125 = 248 832 2 × 10–4 mm. Imagine uma fila de 1 000 b) 248 832 : 1 728 124 = 20 736 bactérias. Ela tem mais ou menos do que 1 c) 1 728 ⋅ 144 123 = 1 728 milímetro? d) 12–4 ⋅ 127 122 = 144 6. Um micrômetro é uma unidade de medida de comprimento equivalente a 10–6 m. Quantos 14. Faça o que se pede em seu caderno: 3 micrômetros equivalem a 1 milímetro? a) Efetue 102 . Veja a orientação: 7. Uma gota de água tem 5 × 10–2 g de massa. É 10 elevado a … …2 à terceira. Por isso, Qual é a massa de 1 000 gotas de água? calcule primeiro 2 à terceira. 8. Escreva em seu caderno os números seguintes usando notação científica: b) Efetue (102)3. a) 30 000 000 c) 0,000 000 3 c) Dividindo o resultado do item a pelo do b) 35 000 000 d) 0,000 000 35 item b, quanto se obtém? 280
13. 13. Raízes Extraindo raízes Problemas e exercícios complementares 15. Dê o valor de: 19. Veja o exemplo: 25 a) 49 c) 16 b) 3 −125 d) 4 81 16. Agora calcule, em seu caderno, os valores aproximados com uma casa decimal de: a) 99 b) 12 c) 80 20. Simplifique os radicais em seu caderno: 3 a) 50 c) 16 Vamos tirar a dúvida de nossos amigos. 4 a) Calcule 1,412. b) 27 d) 81 b) Responda: 1,41 é aproximadamente 21. Faça o que se pede em seu caderno: 2 ou 3 ? a) Simplifique 98 . 17. Nas expressões numéricas, primeiro efetuam- b) Sabendo que 2 ≈ 1, 41 , obtenha um se potências ou raízes. Depois, multiplica- valor aproximado com duas casas deci- ções ou divisões e, por último, adições ou mais para 98 . subtrações. Respeite as regras e efetue: c) Simplifique 300 . a) 12 – 2 ⋅ (4 + 2 ⋅ 9) d) Sabendo que 3 ≈ 1, 73 , obtenha um valor aproximado para 300 . b) 5 ⋅ 16 – 2 ⋅ 32 2 22. Um pequeno desafio! c) 49 − ( 64 ) a) Qual é o menor número inteiro, diferente 100 ⎛ 100 ⎞ d) −⎜ − 3 −125 ⎟ de zero, que deve ser multiplicado por 31 ⎝ 31 ⎠ 75 para obtermos um número quadrado 18. Efetue em seu caderno: perfeito, isto é, um número que é a segunda potência de outro número 4 1 1 3 natural? a) : c) 4 − ⋅5 25 5 16 10 2 4 b) Responda a mesma pergunta para o nú- ⎛ 3⎞ 1 –1 1 ⎛ 1⎞ mero 88. b) ⎜ ⎟ − d) 2 ⋅ −⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 36 64 ⎝ 2⎠ ( problemas e exercícios complementares ) 281
14. 14. capítulo 8 SIMETRIAS Tipos de simetria 4. Copie em papel quadriculado e construa a simétrica da figura em relação ao centro O. 1. Quais das sentenças seguintes são verda- a) deiras? a) O eixo de simetria de um segmento de reta é sua mediatriz. b) Todo triângulo tem pelo menos um eixo de simetria. c) Todo retângulo tem quatro eixos de si- metria. O d) Todo quadrado tem quatro eixos de sime- tria. e) Todo paralelogramo tem pelo menos um eixo de simetria. b) 2. Sejam ABCD um quadrilátero e O o ponto em que se cortam suas diagonais. Quais afirma- ções são verdadeiras? O a) Se ABCD é quadrado, ele tem simetria de rotação de 90o com centro O. b) Se ABCD é retângulo, ele tem simetria de rotação de 180o com centro O. c) Se ABCD é paralelogramo, ele tem simetria central de centro O. 5. Faça o que se pede: d) Se ABCD é losango, ele tem simetria central de centro O. 3. Copie a figura e o ponto O em papel quadri- culado. Depois, desenhe a figura simétrica O x Q em relação ao centro O. a) P O a) Copie em papel quadriculado o triângulo x e o ponto O. Depois, construa a figura simétrica de x em relação ao centro O. b) b) Copie x e o ponto P e construa a figura simétrica em relação a P. c) Faça o mesmo para o ponto Q. O 282
15. 15. Simetrias e propriedades das 7. Problemas e exercícios complementares Quais das seguintes sentenças são verdadei- figuras geométricas ras? a) Em todo retângulo as diagonais são per- 6. Faça as construções: pendiculares. r b) Em todo losango as diagonais são per- pendiculares. B c) Em todo retângulo as diagonais têm me- s didas iguais. A O C d) Em todo paralelogramo ABCD, a diagonal D AC divide o ângulo  ao meio. Desenhe duas retas perpendiculares que se 8. Considere o losango LIRA, no qual as diago- cruzam em O. nais se cortam no ponto O. Sabendo que o Marque os pontos A, B, C e D de modo que ângulo LÎ O mede 35°, encontre a medida do AO = OC e BO = OD. ângulo ALIˆ Trace o quadrilátero ABCD. a) O quadrilátero ABCD é um retângulo? 9. Em um retângulo ABCD, com centro de sime- Como você o classifica? tria O, sabe-se que AÔB mede 120°. b) Há alguma simetria nesse quadrilátero? a) Determine as medidas dos outros dois Explique. ângulos internos do triângulo AOB. c) As diagonais desse quadrilátero dividem os b) Descubra as medidas dos ângulos do tri- ângulos internos do quadrilátero ao meio? ângulo BOC. capítulo 9 ESTATÍSTICA E POSSIBILIDADES Possibilidades e chances B C D E F C D E F 1. No lançamento de dois dados honestos, qual é a probabilidade de se obter produto de pontos igual a: A B C a) 6 b) 12 c) 11 d) 36 2. Admitindo que a chance de um casal ter um filho (ou uma filha) é a mesma de uma moe- da honesta dar resultado cara num lança- mento, qual é a chance de um casal ter três filhos do sexo masculino? a) Copie a árvore em seu caderno e com- plete-a. 3. Um jantar reúne seis diplomatas que repre- b) Quantos cumprimentos foram trocados? sentam os países A, B, C, D, E e F. No encer- ramento do evento, cada diplomata troca um c) Uma dessas fotografias será sorteada. aperto de mão com os colegas. Um fotógra- Qual é a chance de essa foto ser a que sim- fo registra cada cumprimento, que simboliza boliza as relações entre os países B e F? as relações cordiais entre os dois países re- d) No sorteio da foto, qual é a chance de o presentados. Veja parte da árvore de possi- diplomata que representa o país C estar bilidades que mostra os cumprimentos: retratado? ( problemas e exercícios complementares ) 283
16. 16. 4. Responda em seu caderno: Depois, vá marcando os pontos: a) No problema anterior, se o jantar reunis- população se dez diplomatas de dez países, quan- (em milhares) tos seriam os cumprimentos? b) Num torneio de futebol com dez times, 80 em que cada time enfrenta todos os ou- 75 70 tros uma só vez, quantas partidas serão 65 disputadas? 60 1997 1998 1999 2000 ano Tratamento de dados 5. Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os índices de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico abaixo: número de residências 100 80 60 40 7. Em 2000 a Empresa Brasileira de Correios entregou cerca de 85 milhões de encomen- 20 das, assim distribuídas: bancos, 56 %; in- 0 TvA TvB TvC TvD Nenhum dústrias, 27 %; governo, 9 %; pessoas físi- canal cas, 6 %; outros, 2 %. (Dados fornecidos pela a) Qual é o número aproximado de residên- ECT.) cias atingidas nessa pesquisa? Construa um gráfico de setores que apresente essas informações. Não se esqueça de colo- b) Qual dos canais obteve aproximadamen- car título e legendas. te 10 % de audiência naquela noite? 8. Veja as alturas em centímetros das alunas de Bloco de Folhas Especi- ais, página 119, da As- 6. Construa um gráfico de segmentos a partir uma 7a série: sessoria Pedagógica. No da tabela, seguindo as instruções abaixo. Use site da editora, você en- 147 150 151 156 157 158 158 159 contra todo o conteúdo folha quadriculada. do Bloco de Folhas Espe- 161 161 162 163 163 167 168 171 ciais. Variação da população em Ziriguidum a) Calcule a altura média das alunas da classe. Ano 1997 1998 1999 2000 População 60 000 65 000 71 000 78 000 b) Copie a tabela em seu caderno e comple- te-a: Faixa de altura (cm) Freqüência Primeiro, trace os dois eixos: Menos de 150 1 população de 150 a 154 ////// (em milhares) de 155 a 159 ////// de 160 a 164 ////// 80 de 165 a 169 ////// 1 cm 75 70 mais de 169 ////// 65 2 cm 60 c) Mostre os dados dessa tabela em um grá- 1997 1998 1999 2000 ano fico de barras, construído na folha qua- driculada. 284
17. 17. 9. 12. Problemas e exercícios complementares Certa pesquisa resultou nos dados da tabela. Em uma pesquisa eleitoral, em que se entre- vistaram 2 500 eleitores, foram obtidos os A favor 45 seguintes resultados: Contra 50 Sem opinião 15 João Falante 450 Para mostrar esses dados num gráfico circu- Luís Bom-de-bico 375 lar, precisamos saber as medidas dos ângu- Amália Honesta 310 los que correspondem a cada grupo. Indecisos ////// a) Calcule as medidas desses ângulos. a) Quantos são os indecisos? b) Construa o gráfico de setores correspon- b) Qual é o porcentual de votos dos indecisos? dente à tabela. c) Qual é o porcentual de João Falante? Tirando conclusões com d) Os resultados da pesquisa permitem estatística prever quem vencerá as eleições? Por quê? 10. Lançando um dado uma vez, a chance de se 1 13. Num supermercado são entrevistados 50 con- obter 6 pontos é . A chance de se obter 6 6 1 sumidores sobre a marca preferida de sabão. pontos em dois lançamentos seguidos é de 6 Suponha que os resultados reflitam as pre- 1 1 ferências dos 250 000 consumidores da ci- , porque o segundo 6 só ocorre em 6 6 dade. Se cada consumidor usa 2 embalagens das vezes em que o primeiro ocorreu, o qual de 250 g de sabão por mês, em média, 1 quantas toneladas de Ono a cidade consome por sua vez, só ocorre em do total de 6 lançamentos. por mês? De acordo com esses argumentos, qual é a Sabão Preferência (%) chance de se obter 6 pontos três vezes se- Ono 35 guidas? Tinerva 25 11. Se você lança um dado 4 vezes e obtém 6 pon- Brilho Só 12 tos nos 4 lançamentos, há alguma razão para Outros 28 suspeitar de que o dado é viciado? Explique. capítulo 10 DESENHANDO FIGURAS ESPACIAIS Desenhando sobre malhas 2. Pense em uma pilha com sete caixas cúbicas, um pouco abaixo de seus olhos e à sua direita. 1. Represente esta peça em uma folha com Vale imaginar qualquer organização das caixas malha triangular. na pilha. Represente-a sobre malha quadricu- lada. Não esqueça: as caixas são cúbicas. 3. Represente a mesma pilha da questão ante- rior sobre malha triangular. Você já sabe: muda o ângulo de visão. D ( problemas e exercícios complementares ) 285
18. 18. 4. O esquema seguinte representa um conjunto de quatro edificações. 6. No desenho do exercício anterior, trace as arestas “escondidas” do bloco. Faça outra representação sobre malha qua- 7. Desenhe em perspectiva um bloco retangu- driculada, mantendo a altura dos olhos do lar, visto por baixo e situado um pouco à sua observador, mas imaginando o conjunto um direita. Isto significa que a linha do hori- pouco à sua direita. zonte deve ficar abaixo do bloco. 8. Agora, um pequeno desafio. No exercício Desenhando em perspectiva 4 há um esquema sobre malha quadricula- da representando quatro edificações. Faça 5. Decalque o desenho do bloco retangular. um desenho em perspectiva desse conjun- Prolongue as arestas até encontrar o ponto to. Você escolhe o ponto de vista do ob- de fuga. Depois, trace a linha do horizonte. servador. capítulo 11 CÁLCULO ALGÉBRICO Deduzindo fórmulas 3. Use as informações da figura e faça o que se pede: 1. Simplifique a fórmula F = 3(x + 2) – 4(x + 3). x+5 Depois, calcule o valor de F para x = 5. x 2. Considere um número x. A esse número some 7. Multiplique essa soma por 5. Subtraia o triplo do número. Assim, você obtém um re- sultado R. a) Deduza uma fórmula para o perímetro P a) Se x = 3, quanto vale R? desse retângulo. b) Se x = –5, quanto vale R? b) Se x = 3,5, qual é o perímetro? c) Há uma fórmula relacionando R e x: R = (x + 7) 5 – 3x. Faça os cálculos e simplifique essa fórmula. d) Na fórmula simplificada, coloque 3 no lugar de x. O resultado obtido é o mesmo que na pergunta a? 286
19. 19. 4. 7. Problemas e exercícios complementares Veja a tabela de preços de um estaciona- Esta fórmula, segundo critérios estéticos mento: de algumas pessoas, dá o peso ideal de mulheres de 18 a 30 anos em função de sua altura. p = a – 50 – a + 150 5 peso ideal em altura em quilogramas centímetros a) Faça os cálculos em seu caderno e sim- plifique a fórmula. b) Calcule o peso ideal para a = 160 cm. 8. Efetue os cálculos em seu caderno: Se estacionarmos o carro por n horas, com 2x 4y y a) − + 3x − n > 2, qual será a quantia Q a pagar? 3 5 7 2x 4x2y b) 5 ( ) xy + x − 5 − x2 5. Uma certa operadora cobra, por chamadas telefônicas internacionais aos domingos, a 9. Observe o quadro: seguinte tarifa: R$ 1,94 pelo 1o minuto e R$ 0,191 sobre cada 6 segundos adicionais 37 = 10 . 3 + 7 mais 25 % de impostos sobre o total. dezenas a) Quanto se paga por uma chamada inter- unidades nacional com duração de 2 minutos? Generalizando, um número natural no qual a b) E por uma de 10 minutos, quanto se paga? é o algarismo das dezenas e b o das unida- c) Escreva em seu caderno uma fórmula que des pode ser representado assim: 10a + b. forneça o custo C, em reais, de uma cha- Represente de modo similar um número na- mada de duração t minutos, com t > 1, tural, de três algarismos, no qual x é o alga- nas condições descritas acima. rismo das centenas, y o das dezenas e z o das unidades. Cálculos algébricos 10. A partir de uma planificação, fizemos um 6. Observe a montagem da caixa sem tampa: bloco retangular de cartolina: A y 4 x – 12 y x x x a) Encontre a fórmula para a área A de pa- a) Deduza em seu caderno a fórmula da área pelão gasto na caixa, em função de x e y. A de cartolina usada para fazer a caixa. b) Obtenha a fórmula para o volume V da b) Se x = 20 cm, quantos centímetros qua- caixa, em função de x e y. drados de cartolina foram usados? ( problemas e exercícios complementares ) 287
20. 20. 11. Responda em seu caderno: Produtos de polinômios a) Qual é a fórmula do volume do bloco re- tangular do problema anterior? 18. Efetue em seu caderno: b) Se x = 20 cm, quantos centímetros cúbicos a) (x2 + 1) (x + 7) tem esse bloco? b) (xy – 4y) (xy + x + y) c) (x2 – 1) (x2 + x + 1) Fatoração d) (x + y) (x + 2) No problema 19, a área não se mantém, apesar 12. Observe como Renato calculou a expressão 19. A partir do retângulo de lados 20 e 10, cons- de se subtrair do com- numérica: truímos outro retângulo, tirando x do lado primento o mesmo que se aumentou na largu- 2 ⋅ 67 + 3 ⋅ 67 + 5 ⋅ 67 = 67 ⋅ (2 + 3 + 5) = maior e aumentando x no lado menor. ra. Que tal conversar 67 ⋅ 10 = 670 com os alunos sobre is- so? Faça como ele e calcule: 10 a) 3 ⋅ 48 + 2 ⋅ 48 + 3 ⋅ 48 + 2 ⋅ 48 b) 5 ⋅ 79 + 2 ⋅ 79 + 5 ⋅ 79 + 3 ⋅ 79 + 2 ⋅ 79 + 3 ⋅ 79 20 13. Fatore em seu caderno: a) a2b + ab2 c) 33a2b – 44ab2 x 2 b) 3b + b d) 20x + 4 14. Coloque fatores comuns em evidência e sim- 11 ⋅ 729 + 9 ⋅ 729 plifique a expressão em x 12 ⋅ 729 + 18 ⋅ 729 medidas em metros seu caderno. a) Represente cada lado do novo retângulo 15. Fatore em seu caderno: com uma expressão algébrica. a) y3 + 12y2 b) Qual é o perímetro do novo retângulo? É b) 12x3 + 15x2 + 18x igual ao do primeiro retângulo? c) 4x2y – 6x3y c) Escreva em seu caderno a fórmula que dá a área do novo retângulo. 16. Simplifique em seu caderno: d) Calcule a área do novo retângulo quando x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 e x = 7. 24x3 + 18x2 72 ⋅ 133 − 2 ⋅ 133 a) c) e) No item anterior, qual é o valor de x que 6x 1 132 ⋅ 7 + 22 ⋅ 63 dá a maior área? Nesse caso, quais são 5y2 + y b) as medidas dos lados do retângulo? 15y + 3 17. Reduza os termos semelhantes: 20. Efetue em seu caderno: 3a 2a a) (3a + 2) (5a – 6) a) + 2 3 b) (5a + 2) (3a2 – 4a + 1) 3a (a + 3) c) (x + y)2 b) − 4a 2 2 d) (3x – 2)2 2a − 3 a+2 3a + 5 c) − − 21. Resolva as equações em seu caderno: 4 5 2 4a2 − 1 3a(a + 1) a + 5 a) (x + 3) (x + 2) = (x – 5)2 d) + − 3 2 5 b) (x + 6)2 = (x + 3) (x – 2) 288
21. 21. capítulo Problemas e exercícios complementares 12 ÁREAS E VOLUMES Idéias para o cálculo de b) áreas e volumes 1. Todos os cantos da figura são ângulos retos: A 27 10 32 25 y 20 3. Na figura, a unidade u de medida de compri- mento é o lado de cada quadradinho da malha. 35 B C x 8 1u2 45 28 1u A D a) Qual é a área do paralelogramo, em uni- 25 dades u2? medidas em mm b) Quais são as medidas de seus lados, em a) Para calcular x você pode pensar assim: unidades u? “A partir de A, caminho para a direita c) Para obter a área do paralelogramo, 27 + 32, que é 59. Depois, para a Ricardo multiplicou as medidas de AB e esquerda 20 (59 – 20 = 39). Para a direita AD. Esse procedimento é correto? 8 (39 + 8 = 47). E assim por diante”. Quanto vale x? E y, quanto vale? 4. Seu desafio agora é ler, interpretar e repre- b) Calcule a área da figura. sentar. c) Qual é o seu perímetro? A base superior de um cubo é o quadrado ABCD e suas arestas verticais são AE, BF, CG 2. Calcule a área de cada figura, supondo que e DH. Imagine o cubo cortado por um plano os quadradinhos da malha tenham lados de que passa pelas arestas AB e GH. Você pode 1 cm: imaginar esse plano como uma lâmina de a) vidro muito fina. a) Represente essa “cena geométrica” com um desenho. b) Considere o sólido AEHBFG, resultante do corte que descrevemos. Determine o vo- lume desse sólido, sabendo que AB mede 4 cm. ( problemas e exercícios complementares ) 289
22. 22. 5. José tem um jardim retangular que mede a) Copie a tabela em seu caderno. Para 4,5 m por 6,5 m. Para aumentar a fertilidade preenchê-la, você precisa descobrir da terra, ele cobriu todo o jardim com uma quantas unidades u mede o lado inclina- camada de terra adubada de 10 cm de es- do do paralelogramo. pessura. Quantos metros cúbicos de terra adubada foram aplicados? Perímetro Área (u) (u2) 6. Em um cilindro graduado foram colocadas 5 Paralelogramo //////// ///////// bolinhas iguais. Qual é o volume de cada Retângulo //////// ///////// uma? b) Nessa transformação, mantém-se a área da figura? 3 100 cm3 c) E o perímetro, mantém-se o mesmo? 2600 cm3 9. Confira as medidas da figura: 4,5 cm 7. Uma pessoa pretende arrumar, em camadas superpostas iguais, bolinhas de 1 cm de diâ- metro numa caixa cúbica de vidro de 10 cm de aresta interna. Quantas bolinhas a caixa D C comportará? 3,6 cm 4 cm A 5 cm B a) Calcule a área do paralelogramo conside- Fórmulas para o cálculo de áreas rando como base o lado AB. b) Agora, calcule a área tomando como base 8. Reveja esta transformação do paralelogramo o lado BC. em retângulo: c) No cálculo da área do paralelogramo, que lado deve ser considerado como base? 1u d) Escolhida a base, como se escolhe a al- tura? 1u2 290