Grátis 28 pág.
- Denunciar
Pré-visualização | Página 4 de 8
função crescente, pois a > 0. 5 Extraído na íntegra: //www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.p hp Gráfico da função linear f(x) = 3/2 x Exemplo 4: A função f(x) é linear, pois seus coeficientes são a = – 1/3 e b = 0, e decrescente, já que a < 0. Gráfico da função linear f(x) = 3/2 6 FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2º GRAU5 6.1 Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 11 f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0 6.2 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x² + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: 6 Extraído na íntegra: //www.todamateria.com.br/funcao-polinomial/ • se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; • se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 7 FUNÇÃO POLINOMIAL6 As funções polinomiais são definidas por expressões polinomiais. Elas são representadas pela expressão: onde: n: número inteiro positivo ou nulo x: variável coeficientes termos Cada função polinomial associa-se a um único polinômio, sendo assim chamamos as funções polinomiais também de polinômios. 7.1 Valor Numérico de um Polinômio Para encontrar o valor numérico de um polinômio, substituímos um valor numérico na variável x. Exemplo: Qual o valor numérico de p(x) = 2x3 + x2 - 5x - 4 para x = 3? Substituindo o valor na variável x temos: 2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44 7.2 Grau dos Polinômios Dependendo do expoente mais elevado que apresentam em relação à variável, os polinômios são classificados em: • Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 6 • Função polinomial de grau 2: g(x) = 2x2 + x - 2 • Função polinomial de grau 3: h(x) = 5x3 + 10x2 - 6x + 15 • Função polinomial de grau 4: p(x) = 20x4 - 15x3+ 5x2 + x - 10 • Função polinomial de grau 5: q(x) = 25x5 + 12x4 - 9x3 + 5x2 + x - 1 Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 12 7.3 Gráficos da Função Polinomial Podemos associar um gráfico a uma função polinomial, atribuindo valores a x na expressão p(x). Desta forma, encontraremos os pares ordenados (x,y), que serão pontos pertencentes ao gráfico. Ligando esses pontos teremos o esboço do gráfico da função polinomial. Veja alguns exemplos de gráficos: Função polinomial de grau 1 Função polinomial de grau 2 Função polinomial de grau 3 7.4 Igualdade de Polinômios Dois polinômios são iguais se os coeficientes dos termos de mesmo grau são todos iguais. Exemplo: Determine o valor de a, b, c e d para que os polinômios p(x) = ax4 + 7x3 + (b + 10)x2 - c e h(x) = (d + 4)x3 + 3bx2 + 8. Para os polinômios serem iguais é necessário que os coeficientes correspondentes sejam iguais. Então, a = 0 (o polinômio h(x) não tem o termo x4, sendo assim seu valor é igual a zero) b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5 - c = 8 → c = - 8 d + 4 = 7 → d = 7 – 4 → d = 3 7.5 Operações com Polinômios Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios: Adição (- 7x3 + 5x2 - x + 4) + (- 2x2 + 8x -7) - 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 – 7 - 7x3 + 3x2 + 7x -3 Subtração (4x² - 5x + 6) - (3x - 8) 4x² - 5x + 6 - 3x + 8 4x² - 8x + 14 Multiplicação (3x² - 5x + 8) . (- 2x + 1) - 6x³ + 3x² + 10x2 - 5x - 16x + 8 - 6x³ + 13x² - 21x + 8 Divisão Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes. A divisão é formada por: dividendo, divisor, quociente e resto. divisor . quociente + resto = dividendo Teorema do Resto O Teorema do Resto representa o resto na divisão dos polinômios e possui o seguinte enunciado: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 13 O resto da divisão de um polinômio f(x) por x - a é igual a f(a). 8 FUNÇÃO LOGARITMA Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Exemplos de funções logarítmicas: • f(x) = log2x • f(x) = log3x • f(x) = log1/2x • f(x) = log2(x – 1) 8.1 Gráfico de uma função logarítmica Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: a > 1 Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: 0 < a < 1 Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: 8.2 Características do gráfico da função logarítmica y = logax O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1. Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir: Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 14 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Função exponencial ocorre quando temos uma variável no expoente e o número é determinado como base. Fonte: mundoeducacao.bol.uol.com.br Veja dois exemplos de gráficos de funções exponenciais: Gráfico de função exponencial (Foto: Colégio Qi) Temos os gráficos de f(x) = 2x (azul) e g(x) = 2 - x (vermelho). Observando esses dois gráficos poderemos entabular algumas propriedades gerais importantes, Vejamos: Os gráficos estão passando pelo ponto (0,1);