Um sistema homogêneo admite ao menos a solução trivial

O sistema linear homogêneo ocorre quando o sistema linear tem todas as equações igualadas a zero. Desta forma, o termo independente de cada uma das equações é sempre igual a zero nesse tipo de sistema. Nele existe, pelo menos, uma solução, conhecida como trivial ou nula, em que todas as incógnitas são iguais a zero.

A diferença entre um sistema linear que é ou não homogêneo é que, no homogêneo, todas as equações estão igualadas a zero, enquanto em um não homogêneo, pelo menos uma das equações é igualada a um número diferente de zero.

Um sistema homogêneo pode ter como solução somente a solução trivial, sendo um sistema possível determinado (SPD), ou mais soluções além dela, sendo um sistema possível indeterminado (SPI). Para resolvê-lo, usamos as mesmas técnicas para encontrar as soluções de um sistema qualquer.

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O que é o sistema linear homogêneo

Conhecemos como sistema linear homogêneo aquele que tem todas as equações do 1º grau e com termo independente igual a zero. Veja o exemplo:

Assim, todo sistema linear homogêneo tem como solução a terna (0, 0, …, 0), conhecida como solução nula ou trivial. Desta forma, quando um dos termos independentes é diferente de zero, então o sistema linear não é homogêneo.

Um sistema é classificado como linear homogêneo quando é composto por equações do 1º grau que têm termo independente igual a zero, o que significa que todas as equações serão igualadas a zero.

Propriedades de um sistema linear homogêneo

A principal propriedade de um sistema linear homogêneo é que ele tem como solução, pelo menos, a solução trivial, conhecida também como nula, uma vez em que todas as incógnitas iguais a 0 são solução do sistema linear homogêneo, ou seja, a terna (0, 0, … 0).

Um sistema linear nunca será impossível, pois sabemos que ele tem, pelo menos, a solução trivial.

Diferença entre um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo

A principal diferença entre um sistema linear homogêneo e um sistema linear não homogêneo está na sua definição: para ser homogêneo, o termo independente tem que ser zero, já no segundo caso, é necessário que o termo independente seja diferente de zero.

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Como resolver um sistema linear homogêneo

Para encontrar o conjunto de soluções de um sistema linear, utilizamos as mesmas técnicas que utilizaríamos para qualquer outro tipo. Quando o sistema for 2×2, podemos utilizar os métodos conhecidos para resolução de sistema 2×2, como o método da adição, o da substituição ou o da igualdade. Já em um sistema 3×3, podemos utilizar as técnicas específicas para um sistema qualquer, o que é o caso do escalonamento, da regra de Cramer, entre outras.

Fonte

FAQ – Perguntas frequentes

O que é um sistema linear homogêneo?

O sistema linear homogêneo ocorre quando o sistema linear tem todas as equações igualadas a zero. Desta forma, o termo independente de cada uma das equações é sempre igual a zero nesse tipo de sistema. Nele existe, pelo menos, uma solução, conhecida como trivial ou nula, em que todas as incógnitas são iguais a zero.
A diferença entre um sistema linear que é ou não homogêneo é que, no homogêneo, todas as equações estão igualadas a zero, enquanto em um não homogêneo, pelo menos uma das equações é igualada a um número diferente de zero.

Quais são as propriedades para esse tipo de sistema?

A principal propriedade desse tipo de sistema é que ele tem como solução, pelo menos, a solução trivial, conhecida também como nula, uma vez em que todas as incógnitas iguais a 0 são solução do sistema linear homogêneo, ou seja, a terna (0, 0, … 0).
Um sistema linear nunca será impossível, pois sabemos que ele tem, pelo menos, a solução trivial.

Como resolver esse tipo de sistema?

Para encontrar o conjunto de soluções de um sistema linear, utilizamos as mesmas técnicas que utilizaríamos para qualquer outro tipo. Quando o sistema for 2×2, podemos utilizar os métodos conhecidos para resolução de sistema 2×2, como o método da adição, o da substituição ou o da igualdade. Já em um sistema 3×3, podemos utilizar as técnicas específicas para um sistema qualquer, o que é o caso do escalonamento, da regra de Cramer, entre outras.

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