Raiz quadrada é igual por quê

Matemática

Por: Profº Josimar Souza Junior
Blog Matemática Bem Divertida

Claro, que a maioria deve saber que extrair a Raiz Quadrada de um número. É encontrar um número, que multiplicado por si próprio, seja o valor que está na raiz. Essa é maneira que aprendemos nas escolas.

Mas pense bem, o que a palavra "RAIZ" tem a ver com isso? Porque, em nossa língua a palavra RAIZ tem a ver com planta, árvore, mas não com número. Para isso, temos que voltar um pouco na história da matemática, para entender como surgiu a raiz quadrada de um número.

Em 1202, no livro líber abbaci (livro do ábaco ou livro de cálculo) de Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, traz da seguinte maneira, o que hoje chamamos de raiz quadrada: "radix quadratum 16 aequalis 4",escrito em latim, que traduzindo para o português, é: "O lado do Quadrada de 16 é igual a 4". Podemos perceber que a palavra Radix não tem nada a ver com Raiz, pois, a tradução correta de Radix é Lado.

Fibonacci, trouxe essa importante informação para a Europa, graças aos estudos de obras árabes que tinha conhecido quando estava trabalhando com o seu pai no norte da Africa, como comerciante.

Agora, a origem do símbolo ? está associado ao abreviamento da palavra radix, que com o passar do tempo, foram se fazendo cópias em cima de cópias, o que acabou resultando no símbolo que usamos hoje em dia, um alongamento ou variância da letra r.

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FUNÇÃO DO 1º GRAU Prof. Esp. Deivison da Silva e Silvae-mail:[email protected]

- Raiz Quadrada
Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado. Exemplos: a) √49 = 7 porque 7² = 49 b) √100 = 10 porque 10² = 100 NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos...

- Raiz Quadrada
Raiz quadrada Raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala a x. Raiz quadrada de certa forma, lembra um pouco a Potenciação, por exemplo, no caso desse exercício de...

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Raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala a x. Raiz quadrada de certa forma, lembra um pouco a Potenciação, por exemplo, no caso desse exercício de potenciação:...

Matemática

Cálculo da Raiz Quadrada

A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3).

Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta.

Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários.

No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos.

Quanto é a raiz quadrada de √2704?

Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos.

No exemplo acima, temos

Portanto, a √2704 é 52.

Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:

Raiz quadrada exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números racionais, ou seja, podem ser números inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. Por exemplo: .
Raiz quadrada não exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números irracionais, ou seja, podem ser números decimais, infinitos e não-periódicos. Por exemplo:

Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural.

Exemplos:

49 é o quadrado perfeito de 7, pois
144 é o quadrado perfeito de 12, pois
256 é o quadrado perfeito de 16, pois

Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais.

Você sabia?

Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento.

Exemplos

Raiz Quadrada de 2

√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 3

√3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 5

√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 8

√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata)

Raiz Quadrada de 9

√9 = 3 (pois 32 é igual a 9)

Raiz Quadrada de 25

√25 = 5 (pois 52 é igual a 25)

Raiz Quadrada de 36

√36 = 6 (pois 62 é igual a 36)

Raiz Quadrada de 49

√49 = 7 (pois 72 é igual a 49)

Raiz Quadrada de 64

√64 = 8 (pois 82 é igual a 64)

Raiz Quadrada de 100

√100 = 10 (pois 102 é igual a 100)

Raiz Quadrada de 144

√144 = 12 (pois 122 é igual a 144)

Raiz Quadrada de 196

√196 = 14 (pois 142 é igual a 196)

Raiz Quadrada de 400

√400 = 20 (pois 202 é igual a 400)

Saiba mais sobre

Radiciação
Quadrado Perfeito

Exercícios resolvidos com raiz quadrada

Questão 1

(UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 – 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é:

a) 59
b) 47
c) 41
d) 57
e) 1

Ver Resposta

Alternativa correta: c) 41.

Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.

3.3.3 = 33 = 3.32

Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.

Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.32 para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.

Observe que o termo se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.

Agora, vamos resolver a expressão.

Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é:

49 + (– 8) = 41

Portanto, a alternativa correta é c) 41.

Questão 2

(UTF - PR) Considere as seguintes expressões:

II.

III.

É (são) verdadeira(s), somente:

a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.

Ver Resposta

Alternativa correta: b) II.

I. ERRADA. A resposta correta é .

II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração.

III. ERRADA. A resposta correta é 4.

Questão 3

(UFRGS) A expressão

é igual a:

a) √2 + 3√3/4√2
b) 5√2
c) √3
d) 8√2
e) 1

Ver Resposta

Alternativa correta: e) 1.

1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.

2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.

3º passo: simplificar a expressão.

De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.

Efetuando essa operação na expressão, temos:

Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.

Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1.

Veja também: Fatoração de Polinômios

Símbolo da Raiz Quadrada

O símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x.

Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t.

Aprenda mais sobre esse assunto em

Radiciação - Exercícios
Racionalização de Denominadores
Exercícios sobre simplificação de radicais
Potenciação: como calcular, exemplos e exercícios

Como explicar o que é raiz quadrada?

A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9.

Qual é a fórmula da raiz quadrada?

A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x²). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y³).

Porque a raiz é quadrada?

O conceito foi criado por matemáticos árabes. Eles imaginavam um número, por exemplo 25, e diziam que ele havia crescido de uma "raiz quadrada" com área igual a 25. Era preciso, então, "extrair a raiz" e perceber que cada lado do quadrado media 5. A ideia foi adotada por matemáticos europeus no fim da Idade Média.