Quantos algarismos são necessários para numerar um livro de 150 páginas?

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Problema

Noemi escreveu uma história e tem a intenção de transformá-la em livro, posteriormente. Para isso ela utilizou muitas folhas de papel. Ao final da escrita de todo o texto, ela numerou as páginas de seu material e para isso utilizou [tex]1509[/tex] algarismos.
Quantas páginas Noemi escreveu?

Solução 1
(Indicada a partir do 7º ano do E. F.)

Inicialmente, observe que Noemi numerou primeiro páginas utilizando um algarismo; depois, dois algarismos; e assim por diante, até numerar todas as páginas. Pois bem, vamos começar a calcular essas quantidades de algarismos.

• De [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex]: [tex](9-1+1)\cdot 1=9[/tex] algarismos.
• De [tex]10[/tex] a [tex]99[/tex]: [tex](99-10+1)\cdot 2=180[/tex] algarismos.
• De [tex]100[/tex] a [tex]999[/tex]: [tex](999-100+1)\cdot 3=2700[/tex] algarismos.

Neste momento, é importante observar que
➤ de [tex]1[/tex] a [tex]99[/tex] existem [tex]189[/tex] algarismos, quantidade menor do que os [tex]1509[/tex] algarismos utilizados;
➤ de [tex]1[/tex] a [tex]999[/tex] existem [tex]2889[/tex] algarismos, quantidade que ultrapassa os [tex]1509[/tex] algarismos utilizados;
dessa forma, o último número escrito por Noemi possui três algarismos.
Seja, então, [tex]x[/tex] o número utilizado para numerar a última página que Noemi escreveu; assim, de [tex]100[/tex] a [tex]x[/tex] devem existir [tex]1509-(9+180)=1320[/tex] algarismos.
Como sabemos que de [tex]100[/tex] a [tex]x[/tex] existem [tex](x-100+1)\cdot 3[/tex] algarismos, então [tex]\boxed{(x-100+1)\cdot 3=1320}[/tex]. Resolvendo essa equação, segue que:
[tex]\quad (x-100+1)\cdot 3=1320\\
\quad (x-99)\cdot 3=1320\\
\quad 3x-297=1320\\
\quad 3x=1617\\
\quad x=539.[/tex]

Concluindo, [tex]539[/tex] é a quantidade de páginas que Noemi escreveu.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2
(Indicada a partir do 6º ano do E. F.)

Observe que:
Da página [tex]1[/tex] à página [tex]9[/tex], são utilizados [tex]9\cdot 1 = 9[/tex] algarismos.
Da página [tex]10[/tex] à página [tex]99[/tex], são utilizados [tex]90\cdot 2 = 180[/tex] algarismos.
Da página [tex]100[/tex] à página [tex]199[/tex], são utilizados [tex]100\cdot 3 = 300[/tex] algarismos.
Da página [tex]200[/tex] à página [tex]299[/tex], são utilizados [tex]100\cdot 3 = 300[/tex] algarismos.
Da página [tex]300[/tex] à página [tex]399[/tex], são utilizados [tex]100\cdot 3 = 300[/tex] algarismos.
Veja que já foram utilizados [tex]9+180+3\cdot300 = 1089[/tex] algarismos, faltando ainda [tex]1509 – 1089 = 420[/tex] algarismos.
Sabendo que as próximas páginas irão utilizar [tex]3[/tex] algarismos cada, basta dividir [tex]420[/tex] por [tex]3[/tex], obtendo assim [tex]140[/tex], que é igual ao número de páginas restantes.
Como paramos na página [tex]399[/tex], então a última página será [tex]399 + 140 = 539[/tex].
Sendo assim, Noemi escreveu [tex]539[/tex] páginas.

Solução elaborada pelo Clube 1uik.

Participaram da discussão os Clubes 1uik; Matemáticos do Érico.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-o-livro-de-noemi/

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Quantos algarismos são necessários para numerarmos as mil páginas de um livro, começando na página [tex]1[/tex]?

Solução

A numeração deve ser dividida de acordo com a quantidade de algarismos que há em cada página. Vejamos:

• de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex] há [tex](9-1 + 1) \times 1 = 9[/tex] algarismos;
• de [tex]10[/tex] a [tex]99[/tex] há [tex](99-10 + 1) \times 2 = 180[/tex] algarismos;
• de [tex]100[/tex] a [tex]999[/tex] há [tex](999-100 + 1) \times 3 = 2700[/tex] algarismos;
• para a página [tex]1\,000[/tex] serão usados [tex]4[/tex] algarismos.

Desse modo, o total de algarismos utilizados é [tex]9 + 180 + 2700 + 4 = 2893[/tex].

Solução elaborada pelo Clube KHÉRIMA,
com contribuições dos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube KHÉRIMA.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/probleminha-numeracao-de-paginas/

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