Quantas Comissões de 3 participantes podem ser formadas em um grupo de 5 pessoas?

(Colégio Pedro II - 2018 - Professor de Matemática) O problema a seguir explora uma ideia recorrente no estudo de processos de contagem: 

Em um grupo de 3 professores e 8 estudantes, deseja-se formar comissões de 5 pessoas. Quantas comissões podem ser formadas com pelo menos um professor? 

Um estudante selecionou um dentre os três professores e, a seguir, quatro dentre as 10 pessoas restantes. A resposta que apresentou foi 3. C10,4.

Na sua resolução, o estudante contou mais de uma vez algumas comissões. 

Para chegarmos à solução correta do problema proposto com base na resposta desse estudante, devemos subtrair do resultado apresentado por ele a expressão 

(A) 2 ∙ C8,2 + C8,3.
(B) 3 ∙ C8,2 + C8,3.
(C) 3 ∙ C8,2 + 2 ∙ C8,3.
(D) 2 ∙ C8,2 + 3 ∙ C8,3.

Solução: questão bem interessante de análise combinatória do concurso de professor de matemática para o Colégio Pedro II no Rio de Janeiro. Podemos resolvê-la de diferentes maneiras, vamos adotar como estratégia de resolução seguir o comando da questão, ou seja, corrigir a resposta dada pelo estudante.  É uma questão bem inteligente de análise combinatória que foge o padrão de questões sobre o tema e que, portanto, vale a pena fazermos uma análise mais criteriosa.

Nesta questão, temos que trabalhar com a fórmula das combinações:

C n,p = n! / p!(n-p)!

Vamos considerar que do grupo formado por 3 professores e 8 estudantes, os professores sejam: A, B e C.

Repare que o aluno encontrou 3 x C10,4, provavelmente ele fez o seguinte:

(Fixou A) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

(Fixou B) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

(Fixou C) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

E encontrou um total de 3 . C10,4.   Desse modo, ele realmente repetiu contagens, vamos encontrá-las passo a passo analisando os três blocos acima:

(Fixou A) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

Até aqui tudo bem, ele sempre teve um professor no mínimo nas comissões, às vezes dois, às vezes três.

(Fixou B) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

Aqui já aparecem as primeiras duplicações, são elas:  

B e A e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas.   C 8,3  

A, B e C e uma combinação de 8 estudantes em 2 vagas. C 8,2

Ambas precisam ser excluídas, pois já foram contadas no bloco anterior.  Vamos para o último bloco.

(Fixou C) e distribui as outras 10 pessoas nas 4 vagas restantes = C10,4.

Aqui temos novas repetições:

C e A e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas.   C 8,3  

C e B e uma combinação de 8 estudantes em 3 vagas.   C 8,3  

A, B e C e uma combinação de 8 estudantes em 2 vagas. C 8,2

Temos que subtrair do resultado apresentado pelo estudante a seguinte expressão: 2.C8,2 + 3.C8,3.  Alternativa correta é a letra d)

Temos uma outra forma de resolver essa questão, basta fazer o cálculo correto das comissões, depois subtrair a quantidade encontrada pelo aluno pela quantidade correta e finalmente confrontar com as opções de resposta.  O aluno encontrou 3 . C10,4 = 3. 210 = 630 comissões.

Para calcularmos as comissões de 5 pessoas formadas por pelo menos um professor, temos os seguintes cenários:

1 Professor + 4 alunos = C3,1 x C8,4 = 3 x 70 = 210

2 Professores + 3 alunos = C3,2 x C8,3 = 3 x 56 = 168

3 Professores + 2 alunos = C3,3 x C8,2 = 1 x 28 = 28

Total = 210 + 168 + 28 = 406 comissões.

A diferença: 630 - 406 = 224  é a mesma quantidade fornecida pela opção  d) 2.28 + 3.56 = 56 + 168 = 224.

Curiosidade: além desta última, há uma outra maneira de encontrar a quantidade de comissões formadas por pelo menos um professor. A ideia é calcular o seguinte:

(Comissões formadas por pelo menos um professor) + (Comissões sem os professores) = Total de comissões sem restrição

Logo, 

Comissões formadas por pelo menos um professor = (Total de comissões sem restrição) - (Comissões sem os professores)

Comissões formadas por pelo menos um professor = C11,5 - C8,5 = 462 - 56 = 406. 

A Diretoria de uma empresa tem doze membros. Quantas comiss�es de cinco membros podem ser formadas, com a condi��o de que em cada comiss�o figurem sempre o presidente e o vice-presidente?

Os agrupamentos s�o do tipo combina��es, j� que a ordem dos elementos n�o muda o agrupamento.
O n�mero procurado � igual a C12-2, 5-2 = C 10,3 que calculado � igual a:
C10,3 = 10! / [3! . (10 - 3)!] = 10! / 3!.7! = 10.9.8.7! / 3.2.1.7! = 10.9.8/3.2.1 = 120
Portanto, podem ser formadas 120 comiss�es nas quais figuram obrigatoriamente o presidente e o vice-presidente.

Observe que tudo funciona como se as comiss�es possu�ssem 10 elementos e os grupos fossem formados de 3 elementos, j� que, dois elementos j� foram escolhidos previamente e s�o fixos em todos os agrupamentos poss�veis.

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No exerc�cio anterior, quantas comiss�es podem ser formadas de modo que em nenhuma delas figure o presidente e o vice-presidente?

Ora, excluindo-se o presidente e o vice-presidente, restam 12 - 2 = 10 membros, que dever�o ser agrupados de cinco em cinco.
Logo, o n�mero procurado � igual a C12-2,5 = C10,5 que calculado � igual a:
C10,5 = 10! /[5! . (10 - 5)!] = 10! / 5!.5! = 10.9.8.7.6.5! / 5.4.3.2.1.5! = 10.9.8.7.6 / 5.4.3.2.1 = 720.7.6 / 120 = 6.7.6 = 252
Portanto, podem ser formadas 252 comiss�es distintas, nas quais n�o participem o presidente e o vice-presidente.

Numa assembl�ia de 40 cientistas, 8 s�o f�sicos. Quantas comiss�es de 5 membros podem ser formadas incluindo no m�nimo um f�sico?

Ora, o n�mero de comiss�es incluindo no m�nimo um f�sico, significa que as comiss�es dever�o possuir um, ou dois, ou tr�s, ou quatro, ou cinco, ou seis, ou sete, ou oito f�sicos. Logo, para determinar o n�mero total de comiss�es, tal qual especificado no enunciado do problema, deveremos retirar do n�mero total de comiss�es, aquelas nas quais n�o participam nenhum f�sico. O c�lculo � o seguinte:
N�mero total de comiss�es de 5 membros, entre os 40 cientistas = C40,5
N�mero total de comiss�es de 5 membros, entre os 40 - 8 = 32 cientistas restantes (excluindo-se os 8 f�sicos) = C32,5
Portanto, o n�mero procurado ser� igual a: C40,5 - C32,5 = 456.632 comiss�es. (Fa�a as contas!).

Ordenando de modo crescente as permuta��es dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupar� a permuta��o 68275?

O n�mero 68275 ser� precedido pelos n�meros das formas:
a) 2xxxx, 5xxxx que d�o um total de
4! + 4! = 48 permuta��es
b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que d�o um total de 3.3! = 18 permuta��es
c) 6825x que d� um total de 1! = 1 permuta��o.
Logo o n�mero 68275 ser� precedido por 48+18+1 = 67 n�meros. Logo, sua posi��o ser� a de n�mero 68.

Sabe-se que o n�mero de maneiras de n pessoas sentarem-se ao redor de uma mesa circular � dado pela f�rmula P'n = (n - 1)! . Nestas condi��es , de quantas maneiras distintas 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, de tal modo que duas determinadas pessoas fiquem sempre acomodadas juntas?

Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas , podemos considerar que os agrupamentos poss�veis ser�o das seguintes formas:
a) (AB)XYZWK...........................P'n = (6-1)! = 120
b) (BA)XYZWK...........................P'n = (6-1)! = 120
Logo o n�mero total ser�: 120+120 = 240.

Numa reuni�o de 7 pessoas h� 9 cadeiras. Determine de quantos modos distintos as 7 pessoas podem sentar-se nas 9 cadeiras.

Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solu��o � encontrada calculando-se
A9,7 = 9!/(9-7)! = 9!/2! = (9.8.7.6.5.4.3.2!)/2! = 181.440

Poder�amos tamb�m resolver aplicando a regra do produto , com o seguinte racioc�nio:
A primeira pessoa tinha 9 op��es para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , a sexta, 4 e finalmente a s�tima, 3. Logo, o n�mero total de possibilidades ser� igual a 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440

Quantos s�o os anagramas da palavra UNIVERSAL que come�am por consoante e terminam por vogal?

A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N , no in�cio da palavra, podemos dispor em correspond�ncia, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquema correspondente:
(N.............U) (N.............I) (N.............E) (N.............A)

Podemos fazer o mesmo racioc�nio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos poss�veis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O n�mero pedido ser� pois igual a 20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800.

Numa reuni�o est�o 12 pessoas. Quantas comiss�es de 3 membros podem ser formadas, com a condi��o de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoa B nunca participe junto com a pessoa A?

Como um dos 3 integrantes � sempre A, resta determinar os dois outros, com a condi��o de que n�o seja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presen�a garantida) e B (que n�o pode participar junto com A) restam 10 pessoas que dever�o ser agrupadas duas a duas. Portanto, o n�mero procurado � C10,2 = 10! /(10-2)!.2! = 45.

Numa assembl�ia h� 57 deputados sendo 31 governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comiss�es de 7 deputados podem ser formadas com 4 membros do governo e 3 da oposi��o?

Escolhidos 3 deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comiss�es quantas s�o as combina��es dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto �: C31,4. Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas; portanto o n�mero total de comiss�es � igual a C26,3 . C31,4 = 818.090.000.

Quantas anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?

Observe que a palavra ARARA possui 5 letras por�m com repeti��o. Se as 5 letras fossem distintas ter�amos 5! = 120 anagramas. Como existem letras repetidas, precisamos "descontar" todas as trocas de posi��es entre letras iguais. O total de anagramas ser� portanto igual a P = 5!/(3!.2!) = 10.

� �bvio que podemos tamb�m calcular diretamente usando a f�rmula de permuta��es com repeti��o. Para revisar, clique AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu browser.

Quantas solu��es inteiras e n�o negativas podemos encontrar resolvendo a equa��o x+y+z+w = 5?

Por exemplo, (1,2,1,1) � solu��o pois 1+2+1+1=5.An�logamente, (2,1,1,1), (0,1,2,2), (5,0,0,0) etc s�o solu��es.
Racioc�nio: Temos que dividir 5 unidades em 4 partes ordenadas, ou seja, das formas:
|| . | . | .. | . || ou || . | .. | . | . || ou || ... | . | . | || , etc.
Temos ent�o 8 s�mbolos (5 pontos[.] e 3 tra�os[ | ] ) que devem ser permutados, por�m com repeti��o. Logo, teremos:
PR = 8! / 5!.3! = 56
Portanto, a equa��o dada possui 56 solu��es inteiras e n�o negativas.

Outra forma de resolver o problema, seria atrav�s da aplica��o da f�rmula vista em Exerc�cios de An�lise Combinat�ria III. Clique AQUI para ver. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Teremos:

Onde n � o n�mero de inc�gnitas e b � o termo independente. No caso, n = 4 e b = 5.
Logo, substituindo, vem:
Y = (4 + 5 -1)! / 5!.(4 - 1)! = 8! / 5! . 3! = 8.7.6.5! / 5!.3.2.1 = 8.7.6 / 3.2.1 = 56

Outros assuntos e outros problemas

Os n�meros positivos x, y e z s�o inversamente proporcionais a 10, 1 e 5.
Sabendo-se que y - z2 - 2x = 0, determine x + y + z .

Se x, y e z s�o inversamente proporcionais a 10, 1 e 5, ent�o podemos dizer que x, y e z s�o diretamente proporcionais aos seus inversos multiplicativos, ou seja:
x, y e z s�o diretamente proporcionais a 1/10, 1/1 e 1/5.
Assim, poderemos escrever a seguinte rela��o de proporcionalidade direta:
x / (1/10) = y / (1/1) = z / (1/5)
Da�, vem, ap�s efetuarmos as divis�es indicadas:
10x = y = 5z

Temos ent�o:
10x = 5z, de onde tiramos: z = 2x (dividindo ambos os membros por 5).
10x = y, de onde tiramos: y = 10x

Substituindo os valores acima na express�o dada y - z2 - 2x = 0, vem:
10x - (2x)2 - 2x = 0
10x - 4x2 - 2x = 0
8x - 4x2 = 0

Dividindo ambos os membros por 4, vem:
2x - x2 = 0
Colocando x em evidencia, vem: x(2 - x) = 0 e, portanto, x = 0 ou x = 2.

Como o enunciado do problema diz que x � positivo, vem que somente o valor x = 2 serve. Ora, se x = 2, ent�o
y = 10x = 10(2) = 20 e z = 2x = 2(2) = 4.
Assim, a soma x + y + z = 2 + 20 + 4 = 26.

Dividindo 180 por b obt�m-se quociente 8 e resto r, sendo b e r dois n�meros naturais.
Determine a soma dos poss�veis valores de b.

Sabemos da Aritm�tica, que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
O resto � menor do que o divisor e positivo ou nulo.
No caso, temos:
Dividendo = 180
Divisor = b
Quociente = 8
Resto = r

Podemos escrever:
180 = 8b + r e, portanto, r = 180 - 8b

E, como o resto � positivo ou nulo e menor do que o divisor, vem:
0 � 180 - 8b < b

Somando 8b a todos os membros, fica:
8b � 180 < 9b

Podemos dizer ent�o, que:
8b � 180 (1)
180 < 9b (2)

Dividindo ambos os membros de (1) por 8, vem: b � 22,5
Dividindo ambos os membros de (2) por 9, vem: 20 < b
Portanto, 20 < b � 22,5
Os valores poss�veis para b, s�o: b = 21 e b = 22.
Logo, a soma dos valores poss�veis para b ser� igual a 21 + 22 = 43.

Os pontos A = (2,0) e B = (0,4) s�o extremos de um di�metro da circunfer�ncia C.
Determine a equa��o da circunfer�ncia.

Sendo AB um di�metro, o ponto m�dio do segmento AB ser� o centro da circunfer�ncia.
O ponto m�dio do segmento AB ser� o ponto P(1, 2), onde a abcissa e a ordenada, s�o iguais respectivamente � m�dia aritm�tica das abcissas e das ordenadas dos dois pontos dados, ou seja: xp = (2 + 0) /2 = 1 e yp = (0 + 4) /2 = 2.

Para achar o raio da circunfer�ncia dada, basta achar a distancia do centro P, a um dos pontos dados. Vamos calcular, por exemplo, a distancia PA:
Sabemos que: PA2 = (xp - xa)2 + (yp - ya)2
Visite o cap�tulo Geometria Anal�tica I, clicando AQUI.
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Portanto, PA2 = R2 = (1 - 2)2 + (2 - 0)2 = 5
Da�, vem que o raio � igual a R = � 5, ou R2 = 5.
Ora, conhecemos o raio e o centro da circunfer�ncia. Logo:
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 , que � a equa��o reduzida da circunfer�ncia procurada.
Revise a equa��o da circunfer�ncia, clicando AQUI.
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Desenvolvendo os quadrados dos bin�mios indicados, encontraremos a equa��o na forma geral, a saber:
x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = 5
Simplificando, vem, finalmente:
x2 + y2 - 2x - 4y = 0, que � a equa��o procurada.

O n�mero complexo 2 + i � raiz do polin�mio P(x) = x3 + ax2 + bx +15, em que a e b s�o n�meros reais. Pede-se determinar os valores de a e b e, em seguida, calcular P(i) / (3+i) na forma c + di , sendo c e d n�meros reais.

Ora, se x = 2 + i � raiz de P(x), ent�o:
(2 + i)3 + a(2 + i)2 + b(2 + i) + 15 = 0

Desenvolvendo, vem:
23 + 3.22.i + 3.2.i2 + i3 + a(22 + 2.2.i + i2) + b(2 + i) + 15 = 0
8 + 12i - 6 - i + a(4 + 4i -1) + 2b + bi + 15 = 0
8 + 12i - 6 - i + 4a + 4ai - a + 2b + bi + 15 = 0

Simplificando e ordenando, vem:
(8 - 6 + 4a - a + 2b + 15) + (12 - 1 + 4a + b) i = 0
(17 + 3 a + 2b) + (11 + 4 a + b) i = 0 + 0i

Da�, vem:
17 + 3 a + 2b = 0
11 + 4 a +b = 0

Ou,
3 a + 2b = - 17
4 a + b = - 11

Para resolver o sistema de equa��es acima, multiplicaremos a primeira equa��o por 4 e a segunda por - 3:
Teremos:
12 a + 8b = - 68
-12 a - 3b = 33

Somando membro a membro - para eliminar a inc�gnita a - vem:
5b = - 35, de onde conclui-se b = -7.

Portanto, como 4 a + b = - 11, vem, substituindo: 4 a +(-7) = -11, de onde conclui-se:
a = - 1
Logo, a = -1 e b = - 7, responde � primeira parte do exerc�cio.

Portanto, substituindo os valores de a e de b encontrados, o polin�mio dado � igual a:
P(x) = x3 - x2 - 7x + 15
Falta calcular P(i) / (3+i).
P(i) = i3 - (i)2 - 7(i) + 15 = -i + 1 -7i + 15 = 16 - 8i

Portanto,

Paulo Marques, Feira de Santana, 11 de Outubro de 1999.

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