Qualquer problema que envolva uma matriz de duas colunas pode ser solucionado com dois vetores

2.3 Multiplicação de matriz por vetor e representação matricial para sistemas lineares

Se A é uma matriz com m linhas e n colunas, e v→ é um vetor do ℝn, então deﬁnimos o produto da matriz A pelo vetor v→ como o vetor de ℝm resultante da combinação linear das colunas de A com coeﬁcientes dados pelas entradas do vetor v→.

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2.3 Multiplicação de matriz por vetor e representação matricial para sistemas lineares
O que é um vetor é uma matriz?
O que é uma variável composta homogênea bidimensional?
O que é uma matriz na linguagem de programação?
Como fazer um algoritmo de matriz?

Exemplo 2.3.1.

2134−35 235=224+31−3+53 5=2224.

(2.18)

Na linguagem da seção anterior, nós dizemos que dois vetores são iguais quando todas as suas componentes são iguais. Desta forma, podemos interpretar as equações de um sistema linear

x+3y=−12x−y =2

(2.19)

como uma igualdade entre vetores de ℝ2, isto é, de vetores com duas componentes:

x+3y2x−y= −12.

(2.20)

Além disso, é desta forma que surge naturalmente o produto de uma matriz por um vetor:

132−1 xy=−12,

(2.21)

deﬁnido de modo que as duas últimas igualdades acima signiﬁquem a mesma coisa. Esta última notação é conhecida como a forma matricial do sistema linear.

Exemplo 2.3.2. O sistema, que já apareceu nas notas da semana anterior

x1+2x2+x3=12 x1−3x2+5x3=12x1−x2+3x 3=10

(2.22)

pode ser representado matricialmente por

1211−35 2−13x1x2x3=12110.

(2.23)

De forma mais sucinta,

onde

A=1211−352−13,x→=x 1x2x3, e b→=12110.

(2.25)

Chegamos a esta conclusão colocando os coeﬁcientes da primeira variável x1 na primeira coluna, os coeﬁcientes da segunda variável x2 na segunda coluna e os coeﬁcientes da terceira variável x3 na terceira coluna.◃

Mais geralmente, uma matriz do tipo m×n (leia-se “ m por n”) é uma matriz com m linhas e n colunas:

A=aij=a1 1a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮ ⁡⋮ ⁡⋱⋮ ⁡am1 am2⋯amn

(2.26)

e pode estar associada a um sistema com m equações e n variáveis, já que o produto

a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮ ⁡⋮ ⁡⋱⋮ ⁡am1am2⋯amn x1x2⋮ ⁡xn =b1b2⋮ ⁡bm ,

(2.27)

quando visto componente a componente, representa:

a11x1+a12x2 +⋯+a1nxn=b1a21x1+a22 x2+⋯+a2nxn=b2⋮ ⁡am1x1 +am2x2+⋯+amnxn=bm

(2.28)

Exercícios resolvidos

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ER 2.3.1.Dado os vetores abaixo, resolva 4u→, 10v→ e 3u→ +2v→.

u→=322 ev→=−249

(2.29)

Solução. Utilizando a deﬁnição de multiplicação de escalar em vetores obtemos para 4u→:

4u→=4322= 1288

(2.30)

e para 10v→:

10v→=10−249 =−204090.

(2.31)

Por ﬁm, para resolver 3u→+2v→ primeiro temos que multiplicar os escalares pelos vetores u→ e v→ separadamente e, por último, somamos o resultado de cada um. Fazendo direto, temos o seguinte:

3u→+2v→=332 2+2−249=966+−4818 =51424.

(2.32)

♢

ER 2.3.2.Escreva o sistema de equações abaixo na sua forma matricial.

2x1−4x2+6x3=10 −3x1+x2−x3=122x1−3x2+8 x3=5

(2.33)

Solução. Para colocar um sistema de equações na sua forma matricial, temos que representá-lo como um produto de uma matriz onde se encontram os coeﬁcientes das variáveis e um vetor contendo as variáveis. Temos, assim:

2−46−31 −12−38x1x2 x3=10125

(2.34)

Também podemos dizer que A é a matriz dos coeﬁcientes das variáveis, x→ o vetor das variáveis e b→ o vetor contendo os resultados de cada equação do sistema.

♢

ER 2.3.3.Escreva o vetor v→ como uma combinação linear dos vetores e1→, e2→, e e3→.

v→=1−23,e1→=111 ,e2→=124, e3→=2−13

(2.35)

Solução. Podemos representar o vetor v→ como uma combinação linear dos outros vetores da seguinte maneira:

v→=c1e1→+c2e 2→+c3e3→

(2.36)

Assim, temos:

v→=1−23= c1111+c2 124+c32−13

(2.37)

Usando as propriedades anteriormente estudadas, obtemos:

1−23=c1c1c1+ c22c24c2+2c3 −c33c3=c1+ c2+2c3c1+2c2−c3c1+4 c2+3c3

(2.38)

Observamos com esse último resultado que temos um sistema de equações lineares:

c1+c2+2c3c 1+2c2−c3c1+4c2+3c3= 1−23

(2.39)

Usando o método já estudado para resolver sistemas lineares, achamos os valores para c1, c2 e c3 . Veriﬁque que c1=−32, c2=310 e c3=1110. Esses valores são os coeﬁcientes que fazem com que o vetor v→ possa ser escrito como uma combinação linear dos demais vetores. Assim, obtemos como resposta:

v→=−32e1→+310 e2→+1110e3→◃

(2.40)

♢

ER 2.3.4.Para qual valor de k o vetor v→ é uma combinação linear dos vetores e1→ e e2→ ?

v→=1−2k,e1→=30−2,e2→=3−25

(2.41)

Solução. Escrevemos o vetor v→ como uma combinação linear dos outros vetores da seguinte maneira:

v→=c1e1→+c2e 2→

(2.42)

Obtemos então:

1−2k=c130−2+c23−25=3c10c1− 2c1+3c2−2c25 c2=3c1+3c2−2c2 −2c1+5c2

(2.43)

Assim, temos:

3c1+3c2−2c2 −2c1+5c2=1−2 k

(2.44)

Novamente, temos um sistema de equações lineares para resolver. Veriﬁque que c1=−23 e c2=1. Por ﬁm, pela equação envolvendo k:

k=−2c1+5c2=43+5=193

(2.45)

Ou seja, o valor de k que faz com que v→ possa ser representado como uma combinação linear de e1 → e e2→ é k=173.

♢

Exercícios

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O que é um vetor é uma matriz?

Vetores e matrizes são coleções de variáveis contínuas na memória e acessadas através de um número de índice. A diferença entre vetores e matrizes é que vetores são de uma única dimensão, enquanto matrizes podem conter várias dimensões.

O que é uma variável composta homogênea bidimensional?

Variáveis compostas homogêneas multidimensionais com dois ou mais índices para identificar os elementos do conjunto. As matrizes têm mais de uma dimensão. Precisamos usar um índice inteiro para percorrer cada uma das dimensões da matriz. Precisamos usar um índice inteiro para percorrer cada uma das dimensões da matriz.

O que é uma matriz na linguagem de programação?

Uma matriz é uma coleção de variáveis de mesmo tipo, acessíveis com um único nome e armazenados contiguamente na memória. A individualização de cada variável de um vetor é feita através do uso de índices.

Como fazer um algoritmo de matriz?

O algoritmo deve ler os valores necessários para inicializar a matriz e, feito isto, inicializar cada uma das posições do vetor com a soma dos elementos de cada coluna da matriz. Ao final, escrever o conteúdo final do vetor. Para o exemplo de m ser uma matriz com 6 linhas e 6 colunas.