Qual a probabilidade de a soma destes 3 números ser um número ímpar?

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Dois números distintos do conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4, 5\}[/tex] são selecionados ao acaso e depois multiplicados. Qual é a probabilidade de o produto destes dois números ser par?

Solução 1

Inicialmente, lembre-se de que o produto de dois números será par se pelo menos um dos números for par; e, será ímpar, se nenhum dos dois números selecionados for par, ou seja, se os dois forem ímpares.
Vamos utilizar a chamada probabilidade complementar para resolver este problema. Para tanto, precisaremos calcular qual a probabilidade de o produto dos dois números selecionados ser ímpar e já sabemos que isso acontecerá quando esses números forem ímpares.
Lembrando que, neste caso, a probabilidade é dada pelo “número de casos favoráveis” dividido pelo “número total de casos”, como:

• [tex]\binom{3}{2}[/tex] é o número de formas de escolher dois dentre os três números ímpares que temos disponíveis;
• [tex]\binom{5}{2}[/tex] é o número de formas de escolher dois dentre os cinco números que temos no conjunto;

então, a probabilidade de o produto ser ímpar é dada por:
[tex]\qquad \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{3}{10}=0,3[/tex].
Portanto, a probabilidade de o produto ser par é dada por [tex]1-0,3=0,7[/tex], ou seja, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$70\%$} \, [/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Se você ainda não aprendeu número binomial e combinações, você pode simplesmente listar e contar os casos possíveis e os favoráveis necessários para o cálculo da probabilidade pedida no problema, já que temos um conjunto com poucos elementos: apenas cinco.

• Casos possíveis: Quantos pares de números distintos podemos formar com os números [tex]1, 2, 3, 4, 5[/tex] ?
  Vamos listar esses pares e contá-los; vejamos.

  [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 2}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 5}}[/tex] . [tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 5}}.[/tex] [tex]\boxed{\textcolor{green}{3 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{green}{3 \, e \, 5}}.[/tex] [tex]\boxed{\textcolor{#800000}{4 \, e \, 5}}.[/tex]

  [tex]\qquad \textcolor{red}{1 \, \, \begin{cases} 2\\ 3\\ 4\\ 5 \end{cases}} \qquad \textcolor{blue}{2 \, \, \begin{cases} 3\\ 4\\ 5 \end{cases}} \qquad \textcolor{green}{3 \, \, \begin{cases} 4\\ 5 \end{cases}} \qquad \textcolor{#800000}{4 \, \, \begin{cases} 5 \end{cases}}\qquad [/tex]

Podemos, então, formar [tex]\boxed{NP=10}[/tex] pares de números, no total.

• Casos favoráveis: Queremos dois números cujo produto seja par e já sabemos que isso significa que um dos dois números a serem escolhidos é necessariamente par.
  Assim, vamos listar os pares de números com, pelo menos, um número par e contá-los; vejamos.

[tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 1}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 5}}[/tex]. [tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 1}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 5}}[/tex]

[tex]\qquad \textcolor{red}{2 \, \, \begin{cases} 1\\ 3\\ 4\\ 5 \end{cases}} \qquad \textcolor{blue}{4 \, \, \begin{cases} 1\\ 3\\ 5 \end{cases}}\qquad [/tex]

Podemos formar apenas [tex]\boxed{NF=7}[/tex] pares de números com um deles necessariamente par.

Portanto, como a probabilidade de o produto ser par é dada pelo quociente entre número de casos favoráveis, [tex]NF=7[/tex], e número de casos possíveis, [tex]NP=10[/tex], nessa ordem, temos:
[tex]\qquad P=\dfrac{NF}{NP}=\dfrac{7}{10}=0,7[/tex].
Portanto, a probabilidade de o produto ser par é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$70\%$} \, [/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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Probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com base em um evento anterior. Evidentemente, esses dois eventos precisam ser conjuntos não vazios pertencentes a um espaço amostral finito.

Em um lançamento simultâneo de dois dados, por exemplo, obtêm-se números em suas faces superiores. Qual é a probabilidade de que a soma desses números seja 8, desde que ambos os resultados sejam ímpares?

Veja que a probabilidade de a soma desses números ser 8 está condicionada a resultados ímpares nos dois dados. Logo, lançamentos que apresentam um ou dois números pares na face superior podem ser descartados e, por isso, há uma redução no espaço amostral.

O novo espaço amostral é composto pelos pares:

{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}

Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de que se obtenha soma 8 no lançamento de dois dados, dado que os resultados obtidos são ambos ímpares, é de:

2
9

Fórmula da probabilidade condicional

Seja K um espaço amostral que contém os eventos A e B não vazios. A probabilidade de A acontecer, dado que B já aconteceu, é representada por P(A|B) e é calculada pela seguinte expressão:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

Caso seja necessário calcular a probabilidade da intersecção entre dois eventos, pode-se utilizar a seguinte expressão:

P(A∩B) = P(A|B)·P(B)

Exemplos

Calcule a probabilidade de obter soma 8 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares.

Solução:

Seja A = Obter soma 8 e B = Obter dois números ímpares.

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P(A∩B) é a probabilidade de se obter apenas números ímpares que somam 8 no lançamento de dois dados. As únicas combinações das 36 possíveis são:

{3,5} e {5,3}

Portanto,

P(A∩B) = 2
               36

Já P(B) é a probabilidade de obter somente números ímpares no lançamento de dois dados. As únicas combinações dentro das 36 possíveis são:

{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}

Logo,

P(B) = 9
          36

Utilizando a fórmula para probabilidade condicional, teremos:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

               2 
P(A|B) =     36    
               9  
             36

P(A|B) = 2 · 36
            36   9

P(A|B) = 2
             9

Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um baralho comum de 52 cartas e obter um Ás, sabendo que ela é uma carta de copas?

Solução:

A = Obter um Ás

B = Obter uma carta de copas

Como só existe um ás de copas no baralho,

P(A∩B) = 1
               52

A probabilidade de se obter uma carta de copas é:

P(B) = 13
           52

Então, a probabilidade de se obter um às de copas é:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

                1   
P(A|B) =      52     
                  13     
             52

P(A|B) =  1 · 52
             52  13

P(A|B) = 1
             13

Qual a probabilidade de ser um número ímpar?

Qual é a probabilidade de a soma dos pontos ser um número ímpar?

Qual é a soma dos números ímpares?

Qual a probabilidade de sair um número ímpar ou número múltiplo de 3?