Quais os valores de m para que a equação abaixo tenha 2 raízes no conjunto dos reais?

São vários os momentos em matemática, bem como em outras áreas do conhecimento, que a evolução do problema em resolução acaba desembocando em equações de 2º grau ou em funções polinomiais de 2º grau (funções quadráticas). Por este motivo, o conhecimento dos processos de resolução desse tipo de equação é importante e, além disso, necessário.

Muitos povos contribuíram para a descoberta e aperfeiçoamento da resolução de equações de grau 2, a exemplo dos árabes, hindus e babilônios. Para se ter uma ideia da idade histórica desses problemas, há aproximadamente 2000 a.C. os babilônios já conheciam e resolviam equações de 2º grau, em parte dos casos com a ajuda de figuras geométricas.

Este trabalho trata, prioritariamente, do discriminante encontrado na fórmula resolutiva, conhecida também por fórmula de Bhaskara, suas particularidades e operacionalidades.

O discriminante (Δ)

A fórmula resolutiva para equações completas e incompletas do 2º grau é

, onde
.

O discriminante, representado pela letra grega Δ (lê-se “delta”) corresponde ao radicando da fórmula resolutiva e tem o valor do coeficiente b elevado à segunda potência, menos o produto de quatro pelos coeficientes a e c.

Coeficientes são números reais que acompanham as incógnitas, no caso de a e b, ou é independe das incógnitas, no caso de c.

A representação geral de uma equação de 2º grau é:

ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0.

Particularidades de Δ

Algumas peculiaridades do discriminante merecem atenção. Veja cada uma delas:

1. Δ = 0. Quando o discriminante é igual à zero a equação de 2º grau apresenta duas raízes reais iguais.

Ex.: Resolva a equação x2 – 6x + 9 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = – 6 e c = 9.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b2 – 4ac

Δ = (– 6)2 – 4.1.9

Δ = 36 – 36

Δ = 0

x2 – 6x + 9 = 0

2. Δ > 0. Quando o valor do discriminante é maior que zero, a equação apresenta duas raízes reais diferentes.

Ex.: Resolva a equação x2 + 3x – 4 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = 3 e c = – 4.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b2 – 4ac

Δ = (3)2 – 4.1.(– 4)

Δ = 9 – 16

Δ = 25

x2 + 3x – 4 = 0

3.  Δ < 0. Quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais (em R).

Ex.: Determine o conjunto solução da equação quadrática x2 + 5x + 7 = 0.

Separando os coeficientes

a = 1, b = 5 e c = 7.

Calculando o valor do discriminante

Δ = b2 – 4ac

Δ = 52 – 4.1.(7)

Δ = 25 – 28

Δ = – 3

x2 + 5x + 7 = 0

Portanto, o conjunto solução desta equação é:

.

“Nem todos os caminhos que levam ao sucesso são fáceis.”

(Robison Sá)

Referência bibliográfica:
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, 9º ano. – 7. ed. – São Paulo: Moderna, 2011.

Texto originalmente publicado em //www.infoescola.com/matematica/discriminante/

Pede-se os valores de "m" para os quais a equação abaixo tenha solução:

6*(m-1)(sen²x - (m-1)senx - m = 0 -----veja que 6*(m-1) = (6m-6). Assim, ficamos com: 
(6m-6)*sen²x - (m-1)*senx - m = 0

Vamos fazer senx = k. Assim:

(6m-6)k² - (m-1)k - m = 0

Pede-se o valor de "m" para que a equação acima tenha solução. 
Veja: como se trata de uma equação do 2º grau, então ela só terá solução se o seu delta for MAIOR OU IGUAL a zero. 
Veja que o delta dessa função é (m-1)² - 4*(6m-6)*(-m). 
Então teremos que impor que esse delta seja maior ou igual a zero. Assim:

(m-1)² - 4*(6m-6)*(-m) > = 0 ----multiplicando logo (-4) por (-m), ficamos com:: 
(m-1)² + 4m*(6m-6) > = 0 -----desenvolvendo, ficamos com: 
m²-2m+1 + 24m² - 24m > = 0 ----trabalhando os termos semelhantes, temos: 
25m² - 26m + 1 > = 0

Para estudarmos a variação de sinais temos que encontrar as raízes da equação:

25m² - 26m + 1 = 0 ---- aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes:

x' = 1/25 
x'' = 1

Agora vamos para a variação de sinais. Assim:

25m² - 26m + 1 > = 0 .....+++++(1/25)- - - - (1)++++++++

Como queremos que a inequação seja MAIOR OU IGUAL A ZERO, então só nos vai interessar onde tiver sinal MAIS no gráfico acima. Assim, a resposta será:

m < = 1/25 ou m > = 1

Em forma de conjunto-solução, a resposta seria esta:

S = {m £ R | m < = 1/25 ou m > = 1} -----[tradução: "S" é o conjunto dos "m" pertencentes aos reais, tal que "m" é menor ou igual a 1/25 ou "m" é maior ou igual a 1].

Você também poderia representar a resposta assim, o que é a mesma coisa:

S = (-ºº; 1/25] U [1; +ºº).

Pede-se os valores de "m" para os quais a equação abaixo tenha solução:

6*(m-1)(sen²x - (m-1)senx - m = 0 -----veja que 6*(m-1) = (6m-6). Assim, ficamos com: 
(6m-6)*sen²x - (m-1)*senx - m = 0

Vamos fazer senx = k. Assim:

(6m-6)k² - (m-1)k - m = 0

Pede-se o valor de "m" para que a equação acima tenha solução. 
Veja: como se trata de uma equação do 2º grau, então ela só terá solução se o seu delta for MAIOR OU IGUAL a zero. 
Veja que o delta dessa função é (m-1)² - 4*(6m-6)*(-m). 
Então teremos que impor que esse delta seja maior ou igual a zero. Assim:

(m-1)² - 4*(6m-6)*(-m) > = 0 ----multiplicando logo (-4) por (-m), ficamos com:: 
(m-1)² + 4m*(6m-6) > = 0 -----desenvolvendo, ficamos com: 
m²-2m+1 + 24m² - 24m > = 0 ----trabalhando os termos semelhantes, temos: 
25m² - 26m + 1 > = 0

Para estudarmos a variação de sinais temos que encontrar as raízes da equação:

25m² - 26m + 1 = 0 ---- aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes:

x' = 1/25 
x'' = 1

Agora vamos para a variação de sinais. Assim:

25m² - 26m + 1 > = 0 .....+++++(1/25)- - - - (1)++++++++

Como queremos que a inequação seja MAIOR OU IGUAL A ZERO, então só nos vai interessar onde tiver sinal MAIS no gráfico acima. Assim, a resposta será:

m < = 1/25 ou m > = 1

Em forma de conjunto-solução, a resposta seria esta:

S = {m £ R | m < = 1/25 ou m > = 1} -----[tradução: "S" é o conjunto dos "m" pertencentes aos reais, tal que "m" é menor ou igual a 1/25 ou "m" é maior ou igual a 1].

Você também poderia representar a resposta assim, o que é a mesma coisa:

S = (-ºº; 1/25] U [1; +ºº).

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