Ponto medio de um segmento

O ponto médio de um segmento representa o ponto que está localizado exatamente no meio das duas extremidades do segmento. O ponto médio pode ser encontrado dividindo a soma das coordenadas x por 2 e dividindo a soma das coordenadas y por 2.

A seguir, conheceremos a fórmula que podemos usar para calcular o ponto médio de um segmento. Além disso, usaremos essa fórmula para resolver alguns exercícios práticos.

GEOMETRIA

Relevante para…

Aprender a encontrar o ponto médio de um segmento.

Ver fórmula

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O que é o ponto médio?

O ponto médio é um ponto localizado exatamente no meio de um segmento de linha que une dois pontos. Por exemplo, se temos dois pontos e os unimos com um segmento de reta, o ponto médio estará localizado no meio desse segmento e será equidistante de ambos os pontos.

No diagrama abaixo temos os pontos A e B, unidos por um segmento. O ponto C é o ponto médio, pois está exatamente no meio do segmento. Para calcular a localização do ponto médio, basta medir o comprimento do segmento e dividir por 2.

Um ponto médio só pode ser calculado quando temos um segmento de reta unindo dois pontos, pois possui uma localização definida. O ponto médio não pode ser calculado para uma linha ou uma semi-reta, pois uma linha tem duas extremidades que se estendem indefinidamente e uma semi-reta tem uma extremidade que se estende indefinidamente.

A fórmula para o ponto médio de um segmento é derivada usando as coordenadas das extremidades do segmento. O ponto médio é igual a metade da soma das coordenadas x dos pontos e metade das coordenadas y dos pontos.

Então, se temos os pontos A e B com coordenadas $latex A=(x_{1}, y_{1})$ e $latex B=(x_{2}, y_{2})$, a fórmula do ponto médio é :

Fórmula do ponto médio

$latex M=\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$

O ponto médio será expresso como as coordenadas $latex M=(x_{3}, y_{3})$.

Exemplos resolvidos de ponto médio de um segmento

Os exemplos a seguir são resolvidos usando a fórmula para o ponto médio de um segmento. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a resposta.

EXEMPLO 1

Encontre o ponto médio de um segmento que une os pontos (2, 5) e (6, 9).

Solução

Temos as seguintes coordenadas

• $latex (x_{1}, y_{1})=(2, 5)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(6, 9)$

Agora, usamos a fórmula do ponto médio com as coordenadas fornecidas

$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{2+6}{2},\frac{5+9}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{8}{2},\frac{14}{2}\right)$

$latex =\left(1, 7\right)$

O ponto médio é $latex M=(4, 7)$.

EXEMPLO 2

Qual é o ponto médio de um segmento de linha que une os pontos (4, 7) e (9, 10)?

Solução

Podemos escrever da seguinte forma:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(4, 7)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(9, 10)$

Aplicando a fórmula do ponto médio com as coordenadas dadas, temos:

$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{4+9}{2},\frac{7+10}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{13}{2},\frac{17}{2}\right)$

O ponto médio é $latex M=\left(\frac{13}{2},\frac{17}{2}\right)$.

EXEMPLO 3

Se tivermos os pontos (-4, -2) e (6, 5) conectados por um segmento de reta, qual é o seu ponto médio?

Solução

Temos os seguintes valores:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(-4, -2)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(6, 5)$

Neste caso, temos coordenadas negativas, porém, simplesmente aplicamos a fórmula do ponto médio como nos exercícios anteriores:

$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{-4+6}{2},\frac{-2+5}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{2}{2},\frac{3}{2}\right)$

$latex =\left(1,\frac{3}{2}\right)$

O ponto médio tem as coordenadas $latex M=\left(1,\frac{3}{2}\right)$.

EXEMPLO 4

O diâmetro de um círculo tem extremidades (-4, 2) e (2, 8). Quais são as coordenadas do centro do círculo?

Solução

O centro do círculo divide o diâmetro em duas partes iguais. Isso significa que, para encontrar o centro, temos que encontrar as coordenadas do ponto médio do diâmetro. Então, começamos com as coordenadas:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(-4,2)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(2,8)$

Agora, aplicamos a fórmula do ponto médio com estas coordenadas:

$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{-4+2}{2},\frac{2+8}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{-2}{2},\frac{12}{2}\right)$

$latex =\left(-1,7\right)$

As coordenadas do centro do círculo são $latex (-1, 7)$.

EXEMPLO 5

As extremidades de um segmento são (p, 4) e (8, 10). Encontre o valor de p se o ponto médio for (3, 7).

Solução

Escrevemos as coordenadas dadas:

• $latex (x_{1}, y_{1})=(p, 4)$
• $latex (x_{2}, y_{2})=(8, 10)$

Agora, podemos aplicar a fórmula do ponto médio com os valores conhecidos:

$latex M=\left(\frac{x_{1}+x{2}}{2},\frac{y_{1}+y{2}}{2}\right)$

$latex =\left(\frac{p+8}{2},\frac{4+10}{2}\right)$

Neste caso, precisamos encontrar o valor de p que faz parte das coordenadas x do ponto médio. Então, consideramos a componente x, formamos uma equação e resolvemos p. Sabemos que a coordenada x do ponto médio é 3, então temos

$latex 3=\left(\frac{p+8}{2}\right)$

$latex 6=p+8$

$latex p=-2$

O valor de p é -2.

Exemplos de ponto médio de um segmento para resolver

Resolva os exercícios a seguir aplicando o que você aprendeu sobre o ponto médio de um segmento. Se precisar de ajuda com isso, consulte os exercícios resolvidos acima.

Um segmento é unido pelos pontos (1, 3) e (9, 11), qual é o seu ponto médio?

Escolha uma resposta

$latex M=(4, 6)$

$latex M=(4, 7)$

$latex M=(5, 7)$

$latex M=(5, 9)$

Determina o ponto médio do segmento unido pelos pontos (3, -3) e (9, 11).

Escolha uma resposta

$latex M=(5, 6)$

$latex M=(6, 4)$

$latex M=(5, 4)$

$latex M=(6, 8)$

Determina o ponto médio entre os pontos (-1, -3) e (5, 7).

Escolha uma resposta

$latex M=(1, 1)$

$latex M=(1, 2)$

$latex M=(2, 1)$

$latex M=(2, 2)$

Qual é o ponto médio de um segmento de linha que une os pontos (-4, -7) e (6, -1)?

Escolha uma resposta

$latex M=(1, -4)$

$latex M=(2, -2)$

$latex M=(1, -3)$

$latex M=(1, -1)$

Veja também

Interessado em aprender mais sobre ponto médio e distância no plano? Veja estas páginas:

• Distância no Plano Cartesiano – Fórmula e Exercícios
• Exercícios de distância entre dois pontos no plano cartesiano
• Distância entre dois pontos – Fórmula e exemplos
• Ponto médio entre dois pontos – Fórmula e exercícios
• Exercícios do ponto médio de um segmento

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