Multiplicação de logaritmos de mesma base

Operações com logaritmos

Logaritmos de mesma base

Desde que estudamos aritmética, vimos que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Isso nos permite supor que com os logaritmos acontece a mesma coisa. Vamos confirmar isso.

${log_a{{b}\over{c}} = x} <=> {(a^x)} = {{b}\over {c}} $

Não esquecendo que devemos ter:

${a >0}$, ${a ≠ 1}$, ${b>0}$ e ${c > 0}$

Usando números

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${log_3{{243}\over{27}} = log_3{(3^5)\over(3^3)}}$

${log_3{3^{(5 – 3)} = log_3{3^2} = 2}}$

“O quociente de dois logaritmos de mesma base, é igual à diferença entre os logaritmos correspondentes.”

Obs.: Nunca se pode esquecer que a matemática é um grande edifício e cada pequena parte, é como se fosse um tijolo. Na multiplicação e divisão de potências de mesma base, valem as mesmas regras. Soma e subtração dos expoentes. Aqui são a soma e diferença dos logaritmos, mas que são os expoentes da base que reproduz o logaritmando.

Vejamos como se aplica isso.

a)${log_2{{64}\over{16}}}$

${log_2{{2^6}\over{2^4}} = {log_2{2^6} – log_2{2^4}}}$

${log_2{{64}\over{16}} = 6 – 4 = 2}$

b)$ {log_m{{a}\over {b}}} = {{log_m{a}} – {log_m{b}}}$

c)${log_5{{3125}\over{125}}} = {log_5{{5^5} – log_5{5^3}}}$

${log_5{{3125}\over{125}} = 5 – 3 = 2}$

Efetue as divisões de logaritmos de mesma base a seguir.

a)${log_7{{343}\over{7}}}$

b)${log_5{{625}\over{15625}}}$

c)${log_2{{512}\over{64}}}$

d)${log_{11}{{161051}\over{121}}}$

e)${log_y{{p}\over{q}}}$

f)${log_h{{f}\over{g}}}$

g)${log_{13}{{371293}\over{2197}}}$

Bons exercícios, vá com calma. Se sentir dificuldades, peça ajuda, que estarei pronto para esclarecer.

Curitiba, 30 de junho de 2018

Décio Adams

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Em vários cálculos de logaritmos ou operações envolvendo logaritmos é preciso transformar a base do logaritmo em outra, para facilitar as operações.

Para ocorrer essas transformações é preciso obedecer algumas regras e propriedades operatórias dos logaritmos.

Dado o logaritmo loga x = y de base a, para transformar o mesmo logaritmo para a base b, o logaritmo ficará assim:
logb x = z.

Calculando o valor de cada logaritmo iremos encontrar duas equações exponenciais:

loga x = y → x = ay

logb x = z → x = bz

Igualando as duas equações teremos:

ay = bz

Assim, podemos montar o seguinte logaritmo:

z = log b ay → utilizando uma das propriedades operatórias dos logaritmos, temos:

z = y . log b a → substituindo z por log b x, temos:

log b x = y . log b a → substituindo y por loga x, temos:

log b x = loga x . log b a → isolando o logaritmo de base a, temos:

loga x =

log b a

Portanto, para transformar loga x em um logaritmo de base b é preciso seguir a seguinte regra:

Exemplo 1:

Para transformar log 9 45 em logaritmo na base 10 é preciso seguir a regra estabelecia acima.

Comparando log 9 45 com log a x, podemos dizer que a = 9 e x = 45 e b = 10 (que é a base que queremos transformar) substituindo na

fórmula loga x =

, teremos:
                              log b a

log 9 45 =

log 9

Portanto,

na base 10 é log 45, para obter um valor numérico é preciso calcular 
                  log 9
log 45 e log 9.

Exemplo 2:

Esse exemplo é o cálculo de um logaritmo que para ser efetuado será necessário transformar a sua base, veja:

Sabendo que log 2 = 0,3, log 3 = 0,47 e log 5 = 0,69 (todos esses logaritmos estão na base 10), calcule o valor de log2 30.

Para encontrar o valor numérico de log2 30, devemos transformar a base 2 em base 10, pois o exercício ofereceu logaritmos de apoio todos de base 10.

log 2 30 =

=

=

=

=

≈ 4,86 
                   log 2           log 2                    log2                                 0,3                    0,3

Portanto, log 2 30 = 4,86.

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Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática