Lei da conservação da quantidade de movimento exercícios resolvidos

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

Uma bala de 60   g é disparada horizontalmente com uma velocidade v 1 = 600   m / s contra o bloco de 3   k g de madeira macia inicialemnte em repouso sobre a superfície horizontal. A bala emerge do bloco com a velocidade v 2 = 400   m / s, e se observa que o bloco desliza uma distância de 2,70   m antes de parar. Determine o coeficiente de atrito dinâmico μ k entre o bloco e a superfície.

Passo 1

O momento se conserva? Sim:

G i = G f

O momento inicial é dado por:

G i = m v i = 0,060 . 600

E o momento final? No fim, o bloco de 3 k g tem uma certa velocidade, assim como a bala:

G f = 3 v + 0,060 400

Assim:

0,060 . 600 = 3 v + 0,060 400 → v = 4 m / s

Passo 2

Bom, descobrimos que após o impacto da bala o bloco tem uma velocidade de 4 m / s.

No entanto, depois de um tempo, o bloco para. Vamos usar o teorema trabalho-energia pra calcular o coeficiente de atrito μ k :

U = ∆ T

Assim:

U = - N μ k d

Onde d = 2,70 m. E a normal? A normal é igual ao peso para que seja assegurado o equilíbrio vertical:

P = N = m g

Assim:

U = - m g μ k d

Passo 3

E a variação da energia cinética? Ela é dada por:

∆ T = m 2 0 - v i 2 = - m v i 2 2

Igualando:

U = ∆ T

∴

- m g μ k d = - m v i 2 2

∴

g μ k d = v i 2 2 → μ k = v i 2 2 g d = 4 2 2 . 9,81 . 2,7 = 0,302

μ k = 0,302

Resposta

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

A partícula de 2,4   k g se desloca no plano horizontal xy e tem a velocidade mostrada no instante de tempo t = 0. Se a força F = 2 + 3 t 2 / 4 newtons, onde t é o tempo em segundos, é aplicada à partícula na direção y iniciando no instante de tempo t = 0, determine a velocidade v da partícula 4 segundos após F ser aplicada e especifique o ângulo correspondente θ medido no sentido anti-horário a partir do eixo x até a direção da velocidade.

Passo 1

Vamos primeiro calcular as componentes x e y da velocidade inicial:

v → = v x → + v y →

Perceba que o cosseno e o seno do triângulo retângulo mostrado valem:

c o s θ = 4 3 2 + 4 2 = 4 5

s e n θ = 3 5

Assim:

v x = 5 . c o s θ = 5 . 4 5 = 4   m / s

v y = 5 . 3 5 = 3   m / s

Assim:

v → = 4 i ^ - 3 j ^

Passo 2

Perceba que a força atua apenas na direção y . Sendo assim, apenas haverá uma mudança na componente vertical da velocidade:

I = ∫ F d t

∴

I = ∫ 2 + 3 4 t 2 d t = 2 t + 1 4 t 3 0 4 = 24 N . s

Assim:

I = ∆ G y

∴

I = 2,4 v y f - v y i

∴

24 = 2,4 v y f - - 3 → 10 = v y f + 3 → v y f = 7 m / s

Passo 3

Assim, a velocidade final da partícula será:

v → = 4 i ^ + 7 j ^

E o ângulo será:

θ = a r c t g 7 4 = 60,3 °

Resposta

v → = 4 i ^ + 7 j ^

θ = 60,3 °

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

O módulo de aterrissagem lunar de 200   k g está descendo na superfície da Lua com uma velocidade de 6   m / s quando seu retromotor é acionado. Se o motor produz um empuxo T por 4   s que varia com o tempo como mostrado e em seguida desliga, calcule a velocidade do módulo de aterrissagem quando t = 5   s, supondo que ele ainda não aterrisou. A aceleração gravitacional na superfície da Lua é 1,62   m / s ².

Passo 1

Temos duas forças atuando no sistema: A força peso e a força T. Assim, a variação de G será igual à soma dos impulsos:

I p e s o + I T = ∆ G

Passo 2

A força peso tem uma tendência em fazer a velocidade do corpo aumentar ou diminuir nesse problema?

Em aumentar. Assim, o impulso será positivo e dado por:

I p e s o = F p ∆ t = m g ∆ t = 200 1,62 5 = 1620   N . s

E o impulso da força T ? Bem, esse precisa ser negativo já que está freando o móvel. Quanto ele valerá? Nesse caso, teremos que usar:

∫ T d t = I T

Mas veja que a variação de T com o tempo é bem previsível. O impulso será a área sob o gráfico do enunciado, assim:

| I T | = 2.800 2 + 2.800 = 2400 N . s

Passo 3

Assim:

I = ∆ G = m ( v f - v i )

∴

1620 - 2400 = 200 v f - 6

∴

- 780 = 200 v f - 6 → v f = 2,10 m / s

Resposta

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

Um projétil de 75   g viajando a 600   m / s atinge e se incorpora ao bloco de 50   k g, que está inicialmente parado. Calcule a energia perdida durante o impacto. Expresse sua resposta como um valor absoluto | ∆ E | e como uma percentagem n da energia original do sistema E.

Passo 1

Vamos primeiro calcular a velocidade do conjunto formado após a colisão usando a conservação do momento:

G i = G f

Assim:

0,075 . 600 = v 0,075 + 50 → v = 0,899 m / s

Passo 2

Agora vamos calcular a energia cinética final e inicial:

T i = m v i 2 2 = 0,075 600 2 2 = 13500 J

E a energia final será:

T f = 50 + 0,075 . 0,899 2 2 = 20,2 J

Assim, a variação de energia será:

∆ T = 20,2 - 13500 = - 13480 J

Assim:

∆ T = 13480 J

Negativo pois a energia foi perdida.

E qual o percentual perdido? Basta dividir o módulo do valor anterior pela energia cinética inicial:

e % = ∆ T T i = 13480 13500 = 99,9 %

Resposta

∆ T = 13480 J

e % = 99,9 %

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

O motor de foguete de uma nave espacial com 30   t se deslocando a uma velocidade de 24.000   k m / h é acionado e produz um empuxo de 20   k N na direção de sua trajetória circular durante um período de 3   m i n. Determine a nova velocidade da nave espacial. A perda de massa devida ao combustível queimado é desprezivelmente pequena.

Passo 1

Vamos usar o teorema impulso quantidade de movimento:

∫ F d t = ∆ G

Nesse caso, a força é constante, então:

∫ F d t = F ∆ t

Passo 2

O impulso é dado por:

I = F ∆ t = 20000 . ( 3 ) . ( 60 )

E a variação da quantidade de movimento é dada por:

∆ G = m v f - v i = 30000 v f - 24000 3,6

E por que estamos dividindo v f - 24000 por 3,6 ? Porque estamos convertendo para m / s as velocidades pois, afinal de contas, o impulso está em unidades de S I .

Passo 3

Assim:

I = m v f - v i

Então:

20000 . 3 . 60 = 30000 v f - 24000 3,6

Resolvendo:

v f = 244 32 k m / h

Resposta

Exercício Resolvido #6

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 144, 3/198

O projétil de 140   g é disparado com uma velocidade de 600   m / s e carrega três anilhas, cada uma com uma massa de 100   g. Encontre a velocidade comum v do projétil e das anilhas. Determine também a perda | ∆ E | de energia durante a interação.

Passo 1

Pelo equilíbrio de momento:

G i = G f

∴

0,140 600 = 0,140 + 3 × 0,100 v

∴

v = 190,9 m / s

Passo 2

Então, a variação de energia cinética será dada por:

∆ E = 1 2 0,140 + 0,300 190,9 2 - 0,140 600 2 = 17,18 × 10 3 J

Resposta

Exercício Resolvido #7

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 146, 3/206

O martelo com 450   k g de um bate-estaca cai 1,4   m a partir do repouso e atinge o topo de uma estaca de 240   k g enterrada 0,9   m no solo. Após o impacto observa-se o martelo se deslocar com a estaca sem ricochetear visivelmente. Determine a velocidade v da estaca e do martelo imediatamente após o impacto. Você pode justificar o uso do princípio da conservação da quantidade de moviemnto embora os pesos atuem durante o impacto?

Passo 1

A velocidade de impacto será dada por:

v 0 = 2 g h = 2 9,81 1,4 = 5,24 m / s

Passo 2

Assim, a massa final vai ser a soma de 450 + 240 :

∆ G = 0   → 450 5,24 + 0 = 450 + 240 v

∴

v = 3,42 m / s

Resposta