Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros mínimos da envoltória de difração à direita e à esquerda do máximo central em uma figura de difração de dupla fenda se λ = 550 n m, d = 0,150 m m e a = 30,0 μ m?Qual é a razão entre as intensidades da terceira franja clara e da franja central?Ver solução completa Show
Em um experimento de dupla fenda, a separação entre as fendas é 2,0 m m e dois comprimentos de onda, 750 n m e 900 n m, iluminam as fendas ao mesmo tempo. Uma tela é colocada a 2,0 m das fendas. A qual distância do máximo central uma franja clara de um padrão irá coincidir pela primeira vez com a do outro padrão?A) 1,5 m mB) 3,0 m mC) 4,5 m mD) 6,0 m mE) 9,0 m mVer solução completa1 – INTRODUÇÃODifração é o nome genérico dado aos fenômenos associados a desvios da propagação da luz em relação ao previsto pela óptica geométrica.O efeito de difração é observado para todos os tipos de ondas. Nas condições rotineiras raramente observamos a difração da luz. Entretanto, a difração das ondas sonoras é difícil de ser evitada. O som contorna obstáculos de tamanhos razoáveis tais como as mobílias de uma sala e preenchem todo o ambiente de maneira mais ou menos uniforme. Esta diferença observada entre a difração das ondas sonoras e ondas luminosas é devida à diferença entre os respectivos comprimentos de onda. O comprimento de onda do som é da ordem de 1 m, enquanto que o da luz visível é da ordem de 5 x 10-7 m.Os efeitos de difração são apreciáveis quando os obstáculos ou aberturas são de dimensões comparáveis ao comprimento de onda. a) Difração de fenda simples  Fig.1 – Difração de fenda simples. Na fig.1 um feixe de luz monocromática passa por uma fenda de largura b e atinge um anteparo a uma distância z.As ondas de Huygens originárias em cada ponto da abertura interferem entre si e produzem o padrão de difração ilustrado nesta figura. Observamos um máximo central e pontos onde a intensidade luminosa é nula. b) Difração de Fenda duplaUm arranjo semelhante pode ser feito para se observar a difração de fenda dupla. O efeito de difração observado quando a luz passa por cada uma das fendas é o mesmo discutido anteriormente, mas o resultado final em qualquer direção depende da diferença de caminho entre as duas contribuiçõesFig. 3 – Difração de N fendas de largura b período d. A linha serrilhada representa a função de difração (sinb/b)2 . Utilizando a relação apresentada no parágrafo anterior para o caso da fenda dupla, e a relação trigonométrica, I = Io cos² γ (sen² β/β²) (4) onde γ = 1/2 kh sen Θ .c.2 – Simule no computador o padrão para λ = 633 nm, b = 0.2 mm, z = 3 m e h = 0.5 mm. Determine a posição dos máximos e mínimos de interferência e de difração..d – Generalize o modelo para o caso de N fendas.d.1 – Mostre que : I = Io ( senβ/β)² (senNγ/Nsenγ)² (5).Verifique que a eq.(5) coincide com a eq. (4) para N = 2.d.2 – Simule no computador o padrão previsto para N = 3, 4, 5, 10.Que acontece com a largura dos máximos de interferência, à medida que aumenta N ?Quantos mínimos de interferência ha dentro do máximo central de difração ( i. é, –p < b < p ) ?4 – PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL (veja o resumo das atividades para este semestre) Os experimentos serão realizados com um Laser de λ desconhecido (cuidado, no laboratório tem laser vermelho, laranja, azul e verde). As fendas foram feitas em um filme de cromo sobre vidro. A largura das fendas b e a separação entre elas d são desconhecidos, mas da ordem de: 30 < b < 60 μm e 60 < d μmAlinhamento Para que as medidas sejam feitas com precisão, é fundamental que a máscara com as fendas seja colocada perpendicular ao feixe do Laser, isso pode ser facilmente feito enviando o feixe do Laser refletido na superfície do slide, novamente para a saída do Laser. Medida do espectro angular de espalhamento para 3 situações: Fenda única, fio de cabelo, e rede de difração.Medir o espectro ângular, significa medir a intensidade da luz em função do ângulo de observação.Para esta medida o detector se movimentará linearmente sobre um trilho graduado e perpendicular à direção da incidência do feixe laser. A medida do ângulo ( na posição dos máximos ou mínimos) correspondente à cada posição do fotodetector no trilho, pode ser feita por triangulação ( Distancia Z conhecida).Usando o microscópio, medir a largura da fenda , a espessura do fio de cabelo , o período e a largura das fendas da rede de difração. Com as informações das 3 situações diferentes ( fenda única, fio de cabelo e grade de difração) determinar o comprimento de onda do laser utilizado. Roteiro sugerido: 1 – Montar o conjunto Laser, fenda e detetor no trilho. Projete o padrão de difração/interferência sobre o detetor e registre as intensidades ( Trabalhar sempre na região de linearidade do detector, para evitar que a curva fique achatada pela saturação) e distâncias do máximo central.2 – Caracterize os padrões de difração/interferência para: 1 fenda, 1 fio de cabelo e N fendas ( N é desconhecido), ou seja, meça as posições dos máximos ou mínimos. 3 – No caso de 1 fenda, caracterize os padrões de difração obtidos para várias distâncias fenda-anteparo (z) e verifique se a eq. 2 é válida.4 – Meça diretamente com o microscópio, as dimensões b e d.5 – À partir dos seus dados experimentais, traçar a curva de intensidade difratada para cada uma das 3 situações em função do ângulo de observação.6 –Usando os valores de b e d para as 3 situações, determine o l do Laser para as 3 situações. 7– Pode-se concluir que a difração/interferência é um método preciso para medir l? Qual é a precisão do método?Obs. O prof. definirá os ítens a fazer.5 – BIBLIOGRAFIA1 – G. R. Fowles, “Introduction to Modern Optics“, Holt, Rinehart and Winston, second edition, New York (1975).2* – John P. McKelvey and H. Grotch, “Fisica 4 “, Harbra – Harper & Row do Brasil, São Paulo, cap26 (1981).3 – Francis A. Jenkins and Harvey White,” Fundamental of Optics“, MacGraw Hill. (1976).4 – Hecht, Eugene, “Optics“. Adelphi University, Addison-Wesley Publishing Company (1990)* melhor livro .Fig. 14.4 – Figuras de difração produzidas por diferentes números de fendas d = 3b and N = 1 (superior), N = 2 (centro), and N = 10 (Inferior).Z (eixo de intensidade) = log[G(y)I(x)/I0 + 10-5] + 5, onde G(y) é a função gaussiana que determina o contorno do feixe laser.A escala log de intensidade simula a resposta do ôlho para luz intensa. (Simulações: Paulo Dainese e Hugo Fragnito, Nov. 2004)..6 – APÊNDICE :.a) – DIFRAÇÃO DE UM FIO DE CABELOSe no lugar de uma fenda simples, colocarmos um fio de cabelo, o padrão de difração produzido por um feixe laser, é muito similar ao da fenda, exceto na pequena região dentro do feixe.Isto pode ser explicado a partir do principio de Babinet de máscaras complementares. Consideremos duas máscaras complementares como as da figura 14.5, iluminadas em idênticas condições por um feixe de luz.Sejam EA e EB os campos de difração no ponto P produzidos em cada caso: EA (P) = ∫ f(E)dsonde indica a integral de Huygens.Fig. 14.5 – A e B Máscaras complementares. (ou, mais corretamente, a integral de Kirchoff – Fresnel, mas que de todos modos não é necessário especificar a forma desta integral) f(E) é uma função do campo E na superfícieda máscara e ds o elemento de área.A soma das áreas das duas máscaras (A + B) é a superfície sem obstáculos, onde E(P) é o campo produzido na ausência de máximos..Portanto, EA+ EB = E Fig. 14.6 – Escala do microscópio. A figura 14.6 mostra a escala do parafuso micrométrico do microscópio usado para se medir as fendas.O parafuso é composto de 3 escalas:a) Tambor fixoi – escala vertical em mmii – escala horizontal em 0.001mmb) Tambor móveliii – em 0.01mm ( 1mm dividido em 100 partes)A cada volta completa do parafuso, a mesa se desloca 1,000 mm( Para maiores detalhes veja as fotos que estão no laboratório). d) DIFRAÇÃO DE UMA FENDA.Fig. 14.7a – Figura de difração de uma fenda.Fig. 14.7b – Figura de difração de uma fenda retangular. e) DISTRIBUIÇÃO DA INTENSIDADE LUMINOSA.Fig.14.8 – Figura da distribuição da intensidade luminosa..Fig.14.9 – Microscópio Metrológico e seus comandos. 1 – INTRODUÇÃODifração é o nome genérico dado aos fenômenos associados a desvios da propagação da luz em relação ao previsto pela óptica geométrica.O efeito de difração é observado para todos os tipos de ondas. Nas condições rotineiras raramente observamos a difração da luz. Entretanto, a difração das ondas sonoras é difícil de ser evitada. O som contorna obstáculos de tamanhos razoáveis tais como as mobílias de uma sala e preenchem todo o ambiente de maneira mais ou menos uniforme. Esta diferença observada entre a difração das ondas sonoras e ondas luminosas é devida à diferença entre os respectivos comprimentos de onda. O comprimento de onda do som é da ordem de 1 m, enquanto que o da luz visível é da ordem de 5 x 10-7 m.Os efeitos de difração são apreciáveis quando os obstáculos ou aberturas são de dimensões comparáveis ao comprimento de onda. a) Difração de fenda simplesFig.14.1 – Difração de fenda simples. Na fig.14.1 um feixe de luz monocromática passa por uma fenda de largura b e atinge um anteparo a uma distância z.As ondas de Huygens originárias em cada ponto da abertura interferem entre si e produzem o padrão de difração ilustrado nesta figura. Observamos um máximo central e pontos onde a intensidade luminosa é nula.b) Difração de Fenda duplaUm arranjo semelhante pode ser feito para se observar a difração de fenda dupla. O efeito de difração observado quando a luz passa por cada uma das fendas é o mesmo discutido anteriormente, mas o resultado final em qualquer direção depende da diferença de caminho entre as duas contribuiçõesFig. 14.2 – Difração de fenda dupla. A fig. 14.2 nos mostra que a luz difratada pelas duas fendas sofre efeito de interferência, de modo a se obter no anteparo máximos e mínimos de luz.A intensidade total é o produto de um fator devido à difração de fenda simples(sinb/b) vezes um fator devido à interferência de fenda dupla (cos (γ)). O fator de interferência tem um máximo (chamados de máximos principais) sempre que:onde m=0,1,2,3,4, ...denota a ordem do padrão. Já o fator de difração tem mínimos de intensidade sempre que: onde n=1,2,3,4, ... denota a ordem do mínimo. O padrão pode ser descrito dizendo-se que o fator de difração “modula” as variações do fator de interferência. Sempre que um máximo de interferência coincide espacialmente com um mínimo de difração, esse máximo de interferência é suprimido. Assim, sempre que, um máximo do padrão de interferência será eliminado Fig. 14.3 – Difração de N fendas de largura b período d a linha serrilhada representa a função de difração (sinb/b)2 Utilizando a relação apresentada no parágrafo anterior para o caso da fenda dupla, e a relação trigonométrica, o padrão de intensidades para a fenda dupla pode ser escrito como: A generalização desta expressão ao casso de Nfendas não é uma tarefa matemática simples. O resultado final, contudo, é bastante simples sendo obtido apenas substituindo-se por . Assim para a difração por um arranjo de múltiplas fendas, a distribuição de intensidades é dada por: 2 – OBJETIVOS :– Observar os efeitos de difração de Fraunhofer produzidos por uma fenda e os efeitos de interferência produzidos por duas ou mais fendas.– Elaborar um modelo que explique as principais características do padrão de interferência e/ou difração observado.Verificar quantitativamente as previsões do modelo.3 – PREPARAÇÃOa – Estude ou revise os conceitos de interferência e difração, principalmente os seguintes pontos:a.1 – Experimento de Young.a.2 – Difração.a.3 – Difração de Fraunhofer de uma fenda.a.4 – Difração e interferência por fendas múltiplas – rede de difraçãob – para explicar quantitativamente o padrão de difração de uma fenda de abertura b, observado em um anteparo a uma distância z, produzida por ondas incidentes planas, de comprimento de onda l e irradiância I0 .b.1 – Mostre que a condição para que o padrão de difração possa ser considerado como de Fraunhofer é :(1) b.2 – Mostre que nesta condição o padrão de difração pode ser descrito em termos de irradiância como:(2)onde I0 é a irradiância em y = 0 e (3) com k=2p /l e tan q = y/z. Note que para y = 0 este modelo prevê o máximo absoluto (ou máximo central) da irradiância.b.3 – Se b é 1mm e l = 633 nm, à partir de qual distância z você espera que a eq. (2) seja válida ?b.4 – Baseado neste modelo, onde você espera achar os primeiros 4 mínimos de difração?b.5 – Utilizando algum software de sua preferência simule o experimento obtendo um gráfico de I/ I0 versus y para l = 633nm, b = 0.2mm e z = 3m.Quanto é aproximadamente a intensidade relativa dos primeiros 10 máximos ? c – Estude o modelo para a interferência de duas fendas com largura b e distância entre fendas h (Experimento de Young) levando em consideração os efeitos de difração.c.1 – Mostre que se a condição de difração de Fraunhofer for satisfeita, a incidência pode ser escrita como:.(4)onde . c.2 – Simule no computador o padrão para l = 633 nm, b = 0.2 mm, z = 3 m e h = 0.5 mm. Determine a posição dos máximos e mínimos de interferência e de difração..d – Generalize o modelo para o caso de N fendas.d.1 – Mostre que :(5). Verifique que a eq.(5) coincide com a eq. (4) para N = 2.d.2 – Simule no computador o padrão previsto para N = 3, 4, 5, 10.Que acontece com a largura dos máximos de interferência, à medida que aumenta N ?Quantos mínimos de interferência ha dentro do máximo central de difração ( i. é, –p < b < p ) ?.4 – PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL (veja o resumo das atividades para este semestre) Os experimentos serão realizados com um Laser de l desconhecido (cuidado, no laboratório tem laser vermelho, laranja, azul e verde). As fendas foram feitas em um filme de cromo sobre vidro. A largura das fendas b e a separação entre elas d são desconhecidos, mas da ordem de: b@ 30 – 60 m m e d@ 60 – 120 m mAlinhamento Para que as medidas sejam feitas com precisão, é fundamental que a máscara com as fendas seja colocada perpendicular ao feixe do Laser, isso pode ser facilmente feito enviando o feixe do Laser refletido na superfície do slide, novamente para a saída do Laser. Medida do espectro angular de espalhamento para 3 situações: Fenda única, fio de cabelo, e rede de difração. Medir o espectro ângular, significa medir a intensidade da luz em função do ângulo de observação.Para esta medida o detector se movimentará linearmente sobre um trilho graduado e perpendicular à direção da incidência do feixe laser. A medida do ângulo ( na posição dos máximos ou mínimos) correspondente à cada posição do fotodetector no trilho, pode ser feita por triangulação ( Distancia Z conhecida).Usando o microscópio, medir a largura da fenda , a espessura do fio de cabelo , o período e a largura das fendas da rede de difração. Com as informações das 3 situações diferentes ( fenda única, fio de cabelo e grade de difração) determinar o comprimento de onda do laser utilizado. Roteiro sugerido: 6 –Usando os valores de b e d para as 3 situações, determine o l do Laser para as 3 situações. 7– Pode-se concluir que a difração/interferência é um método preciso para medir l? Qual é a precisão do método?Obs. O prof. definirá os ítens a fazer.5 – BIBLIOGRAFIA1 – G. R. Fowles, “Introduction to Modern Optics“, Holt, Rinehart and Winston, second edition, New York (1975).2* – John P. McKelvey and H. Grotch, “Fisica 4 “, Harbra – Harper & Row do Brasil, São Paulo, cap26 (1981).3 – Francis A. Jenkins and Harvey White,” Fundamental of Optics“, MacGraw Hill. (1976).4 – Hecht, Eugene, “Optics“. Adelphi University, Addison-Wesley Publishing Company (1990).* melhor livro .Fig. 14.4 – Figuras de difração produzidas por diferentes números de fendas d = 3b and N = 1 (superior), N = 2 (centro), and N = 10 (Inferior).Z (eixo de intensidade) = log[G(y)I(x)/I0 + 10-5] + 5, onde G(y) é a função gaussiana que determina o contorno do feixe laser.A escala log de intensidade simula a resposta do ôlho para luz intensa. (Simulações: Paulo Dainese e Hugo Fragnito, Nov. 2004)..6 – APÊNDICE :.a) – DIFRAÇÃO DE UM FIO DE CABELOSe no lugar de uma fenda simples, colocarmos um fio de cabelo, o padrão de difração produzido por um feixe laser, é muito similar ao da fenda, exceto na pequena região dentro do feixe.Isto pode ser explicado a partir do principio de Babinet de máscaras complementares. Consideremos duas máscaras complementares como as da figura 14.5, iluminadas em idênticas condições por um feixe de luz.Sejam EA e EB os campos de difração no ponto P produzidos em cada caso:onde indica a integral de Huygens.Fig. 14.5 – A e B Máscaras complementares. (ou, mais corretamente, a integral de Kirchoff – Fresnel, mas que de todos modos não é necessário especificar a forma desta integral) f(E) é uma função do campo E na superfície da máscara e ds o elemento de área.A soma das áreas das duas máscaras (A + B) é a superfície sem obstáculos, onde E(P) é o campo produzido na ausência de máximos..Portanto, EA+ EB = E Este resultado é o princípio de Babinet. Este princípio é útil principalmente nos pontos onde E(P) = 0, em cujo caso temos EA = -EB e portanto, a irradiância IA = IB .No caso do fio de cabelo iluminado por um feixe Laser, o padrão coincide com o da fenda em todos os pontos, exceto na região dentro do feixe (onde E ¹ 0)..b) – REGISTRO FOTOGRÁFICOTambém é possível registrar as figuras através do processo fotográfico, colocando-se um papel fotográfico para ser exposto durante um tempo bem controlado, à luz emitida e difratada pelas fendas.É preciso mencionar que neste caso, a distância papel-fenda deverá ser bem menor uma vez que as dimensões do papel fotográfico são menores, consequentemente a imprecisão nas medidas a serem feitas nas fotos aumenta, aumentando assim o erro das medidas das fendas.Lembrar também que a distribuição de luz, ao longo da figura de difração não é homogênea,resultando em uma imagem com muito contraste no centro e quase nada nas laterais. Essa limitação pode ser superada bloqueando a parte central da imagem, expondo mais tempo as regiões laterais da figura..c ) – PARAFUSO MICROMÉTRICO DO MICROSCÓPIO.Fig. 14.6 – Escala do microscópio. A figura 14.6 mostra a escala do parafuso micrométrico do microscópio usado para se medir as fendas.O parafuso é composto de 3 escalas:a) Tambor fixoi – escala vertical em mmii – escala horizontal em 0.001mmb) Tambor móveliii – em 0.01mm ( 1mm dividido em 100 partes)A cada volta completa do parafuso, a mesa se desloca 1,000 mm( Para maiores detalhes veja as fotos que estão no laboratório). d) DIFRAÇÃO DE UMA FENDA.Fig. 14.7a – Figura de difração de uma fenda.Fig. 14.7b – Figura de difração de uma fenda retangular. e) DISTRIBUIÇÃO DA INTENSIDADE LUMINOSA.Fig.14.8 – Figura da distribuição da intensidade luminosa..Fig.14.9 – Microscópio Metrológico e seus comandos. +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Como se poderia explicar o surgimento e o posicionamento das franjas claras e escuras?Esse efeito pode se analisado de acordo com o modelo de Huygens — cada porção da fenda atua como uma fonte de luz. As ondas provenientes de cada ponto da fenda podem chegar ao anteparo em fase ou fora de fase, produzindo regiões respectivamente claras ou escuras.
Como você explica o surgimento de regiões claras e escuras no anteparo do experimento com a interferência da luz?Finalmente, essas duas ondas atingiam um anteparo (alvo) onde era possível ver a existência de regiões claras e escuras. As regiões escuras correspondiam às interferências destrutivas, enquanto que as regiões claras correspondiam às interferências construtivas.
Porque há o aparecimento de franjas claras e escuras na luz do laser?- as franjas claras correspondem a regiões de interferência construtiva. - as franjas escuras correspondem a regiões de interferência destrutiva.
Como ocorre o fenômeno da difração?A difração acontece quando a onda, ao encontrar um obstáculo ou atravessar uma fenda, com dimensões equivalentes ao seu comprimento de onda, fragmenta-se no seu espectro.
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Foi possível observar o fenômeno da difração Como se poderia explicar o surgimento e o posicionamento das franjas claras e escuras?
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