Progressão geométrica finita é uma PG que tem um número determinado de elementos. Por exemplo, a seqüência (3,6,12,24,48) é uma PG de razão igual a q = 2. Show A soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Fazer essa soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, caso seja necessário somar os termos de uma PG com mais de dez elementos, o que é mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula. Veja a sua demonstração: Dada uma PG finita qualquer com n elemento, ou seja, com a quantidade de elementos indefinida. PG finita (a1, a2, a3, ... , an). A soma desses n elementos será feita da seguinte forma: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an Sabendo que a2 = a1 . q; a3 = a1 . q2; an = a1 . qn – 1 Podemos dizer que a soma dessa PG será: Sn = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn – 2 + a1 . qn – 1. Como se trata de uma equação, se multiplicar um membro é preciso multiplicar o outro, por isso é necessário multiplicar os dois termos da última equação por q: q . Sn = (a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn – 1) q . Sn = a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + a1 . q4 + ... + a1 . qn – 1 + a1 . qn Fazendo a subtração:
Colocando em evidência os termos semelhantes, temos: Isolando o termo Sn (soma dos elementos), iremos obter a seguinte fórmula: Sn = a1 (qn – 1)q - 1 Portanto, a fórmula para obter a soma dos n elementos de uma PG finita é: Sn = a1
(qn 1) Exemplo: Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584). Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º termo, a razão e a quantidade de elementos que essa PG possui. a1 = 7 Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que possui essa PG, utilizando a fórmula do termo geral. an = a1 . qn – 1 Sn = a1 (qn – 1) S10 = 7 (210 – 1) S10 = 7 (1024 – 1) S10 = 7 . 1023 S10 = 7161 Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
Considere uma P.A. qualquer de razão r. (a1, a2, a3, a4, a5, ...) A soma dos n primeiros termos dessa P.A. será dada por: Onde, a1 → é o primeiro termo da P.A. Exemplo 1. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. abaixo: Solução: Note que para a utilização da fórmula da soma dos termos é necessário conhecer o valor de a1 e a20. Temos que a1 = 5; r = 8 – 5 = 3; n = 20; Precisamos determinar qual é o 20º termo dessa P.A., ou a20. Para isso, iremos utilizar a fórmula do termo geral. Agora, podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A. Exemplo 2. Calcule a soma dos 50 primeiros números naturais ímpares. Solução: (1, 3, 5, 7, ...) é a sequência dos números ímpares. É fácil ver que a1 = 1 e r = 2. Precisamos determinar o 50º termo dessa sequência (a50). Para isso, iremos utilizar a fórmula do termo geral. a50 = 1 + (50 - 1)?2 = 1 + 49?2 = 99 Agora podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Exemplo 3. O primeiro termo de uma P.A. vale 0,7 e a soma de seus vinte primeiros termos é igual a 71. Determine o vigésimo termo dessa P.A. Solução: Temos que a1 = 0,7 S20 = 71 a20 = ? Para solução desse problema devemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A. Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto: Por: Marcelo Rigonatto Artigos relacionados
Produto dos termos de uma PG Descubra como calcular o produto dos termos de uma progressão geométrica (PG) finita. Para isso, usamos uma fórmula que envolve o primeiro termo da PG, sua razão e número de termos. Saiba ainda como demonstrar essa fórmula fazendo uso da decomposição em fatores primos dos termos da PG. Clique e aprenda!
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Qual é a razão de uma PG em que a1 5?Olá. A razão da P.G é 3.
Qual é o 5º termo da PG 1Resposta verificada por especialistas. O quinto termo da PG será 625 e o décimo termo da outra PG será 177147.
Como calcular a soma dos termos de uma PG?Soma dos n primeiros termos de uma PG. Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . ... . Multiplicando ambos os membros pela razão q, temos: Sn.q = a1 . ... . Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: Sn . ... . Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 .. |