Função é uma expressão matemática que relaciona dois valores pertencentes a conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A lei de formação que intitula uma determinada função, possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas, isso facilitará o entendimento por parte do estudante. Observe:
Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas:
A | B |
x | f(X) |
1 | 2 |
2 | 3 |
3 | 4 |
4 | 5 |
5 | 6 |
Nessa situação, temos que:
Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A.
(1, 2, 3, 4, 5)
Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B.
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A).
(2, 3, 4, 5, 6)
O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou não uma função. Observe:
Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função.
Função
Um único elemento do domínio não deve possuir duas imagens.
Não é função
Dois elementos diferentes do domínio podem possuir a mesma imagem.
Não é Função
Restam elementos no conjunto domínio, que não foram associados ao conjunto imagem.
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Um função bijetora exerce o papel de funções injetora e subjetora de forma simultânea, além disso a mesma também é chamada função identidade.
Ao passo que uma função pode ser definida como uma regra que liga elementos entre um conjunto e outro de forma individual, a mesma possui diversas classificações. Em suma, funções podem ser: simples, injetora, sobrejetora ou bijetora. Porém, neste texto em questão o enfoque será exclusivo na função bijetora.
Pois bem, também chamada de bijeção ou bijetiva, uma função é bijetora quando exerce um papel simultâneo de injetora e sobrejetora. Logo, para compreender de forma coerente uma bijeção é necessário conhecer os conceitos e especificidades em torno de funções injetoras e sobrejetoras.
Além de explorar as funções injetoras (também denominadas injetivas ou injeções) e sobrejetoras (conhecidas como sobrejetivas ou sobrejeções), compreender bem uma função bijetora exige pleno conhecimento sobre os elementos que constituem uma função, como imagem, domínio e contradomínio.
Domínio, contradomínio e imagem
Visto que uma função é definida como uma relação entre dois conjuntos quaisquer, podendo os mesmos serem A e B, é necessária uma regra de associação de cada elemento de A a um elemento único de B. Assim, em uma linguagem matemática, essa relação seria descrita como f: A → B.
Enquanto o conjunto A é chamado de domínio da função, B é o contradomínio. Ademais, é importante notar que há uma diferença entre função f, que é a função em si, e f(x) que é o valor que a função adquirirá em determinado ponto x no seu domínio.
Sendo assim, para cada valor de x pertencente ao domínio A, existe um valor y – ou f(x) – que pertencerá ao contradomínio B. Como resultado disso, o contradomínio pode ser denominado “imagem”, pois possui uma relação com os elementos do domínio.
Funções injetoras e sobrejetoras
Diz-se que uma função é injetora quando cada elemento do domínio conta com uma única e distinta imagem. Assim, um exemplo de função injetora é f(x) = 2x. Visto que não existem dois pontos do domínio que estejam ligados ao mesmo ponto na imagem, a mesma é considerada injetora.
Em contrapartida, a função f(x) = x² é não injetora. Para verificar isso, basta usar elementos opostos do domínio, por exemplo, 2 e -2. Dessa forma, substituindo x por 2 e -2 o resultado é o mesmo, contrariando a regra da função injetora e indicando dois pontos do domínio ligados ao mesmo ponto na imagem. Veja o exemplo abaixo:
f(x) = x²
f(2) = 22 = 4
f(– 2) = (– 2)2 = 4
Já uma função sobrejetora é aquela na qual o mesmo elemento do contradomínio pode ter diversas correspondências no domínio. Matematicamente falando, essa função pode ser representada como f: A → B, se e somente se: Para todo y ou f(x) pertencente a B existir um x pertencente a A.
Elucidadas as especificidades das funções injetora e sobrejetora, é possível partir para o estudo da função bijetora.
Função bijetora
No caso de uma função bijetora, o contradomínio é igual à imagem e, simultaneamente, elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Dessa forma, cada elemento do domínio se liga a um único elemento da imagem, e vice-versa. Ademais, todos elementos pertencentes ao contradomínio se relacionarão com algum do domínio.
Na linguagem matemática, uma função bijetora é descrita como: f: R → R. No entanto, ao invés de f(x) ser igual a y, f(x) = x. Como resultado disso, essa função recebe o nome de função identidade, pois faz com que todos os elementos do contradomínio sejam usados.
Ao passo que não existem dois elementos distintos do domínio relacionados ao mesmo elemento da imagem, por isso, a função é bijetora.
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Fontes: Brasil Escola, InfoEscola, Mundo Escola, Brasil Escola.
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