Como acontece a distribuição de cargas elétricas em um condutor isolado?

Escrito por Ualype Uchôa 

Na aula a seguir, trataremos de materiais condutores, definindo-os e mostrando propriedades e características. Também discutiremos sobre o fenômeno de indução e definiremos uma grandeza chamada de capacitância, que terá uma importância extrema. Será usado um pouco de cálculo diferencial em algumas seções.

Condutores

Condutores, como o nome sugere, são materiais que permitem, com facilidade, a movimentação de cargas elétricas. No entanto, essa definição não nos é suficiente: para entendermos como funcionam materiais condutores, devemos investigar suas características. Aqui, lidaremos apenas com condutores em equilíbrio eletrostático; isto é, aqueles nos quais as cargas estão em repouso.

1. Distribuição de cargas

Como as cargas em excesso em um condutor isolado são de mesmo sinal, há repulsão entre elas, as quais buscam a maior distância umas das outras, indo assim para a superfície. Sendo assim, as cargas em excesso distribuem-se sobre a superfície externa:

Figura 1: Condutor positivamente carregado, com as cargas distribuídas em sua superfície.

Esse fato foi verificado experimentalmente várias vezes na história, por exemplo, nos experimentos de Benjamin Franklin, de Faraday e de Cavendish. Você também pode chegar nessa conclusão em termos de energia; a natureza sempre busca minimizar a energia de sistemas, e essa é a distribuição de cargas que alcança tal objetivo (compare a energia de uma esfera condutora com a de uma esfera isolante!).

2. O campo elétrico

Como já vimos no exemplo da esfera condutora (na Aula 5.2), o campo elétrico no interior de um condutor é nulo (independente do formato), pois, caso não fosse, haveria uma força resultante nos elétrons livres em seu interior, o que nos tiraria da situação de equilíbrio eletrostático.

Para um ponto na superfície, o campo elétrico é não-nulo  (a não ser que o condutor seja plano e tenha distribuição uniforme de carga) e perpendicular à esta. Consequentemente, o campo em pontos muito próximos à superfície também. A perpendicularidade é justificada pois a existência de uma componente tangencial do campo provocaria uma força nas cargas, deslocando-as, o que tira o condutor do regime de equilíbrio. O campo próximo à superfície (para um determinado ponto) pode ser calculado através da lei de Gauss, utilizando-se uma "pillbox" de secção reta

Onde

3. Potencial elétrico

Outra propriedade importante é que um condutor é uma equipotencial: o potencial elétrico em um ponto qualquer de um condutor (na superfície ou em seu interior) é o mesmo. Verificamos esse fato no exemplo da esfera condutora (Aula 5.2), mas ele vale para um condutor de formato arbitrário: na superfície, não há componente tangencial do campo, e, por consequência, não há D.D.P entre pontos na superfície. Já no seu interior, o campo resultante é nulo, então uma D.D.P não pode ser gerada e o potencial é igual para pontos internos ou na superfície.

Indução de cargas

Um fenômeno importantíssimo a ser analisado é o das cargas induzidas. Primeiramente, imaginemos um cenário simples: colocamos uma carga

Figura 2: Carga

Na parte mais próxima da carga

Figura 3: Condutor com uma cavidade em seu interior, e, dentro desta, uma carga

O campo elétrico dentro da cavidade, onde se encontra

Escolhendo uma superfície gaussiana que envolve a cavidade,

Capacitância

Através de experimentos, verificou-se que a carga de um corpo condutor eletrizado é diretamente proporcional ao seu potencial:

A esta constante de proporcionalidade, damos o nome de capacitância. Ela depende apenas da geometria do corpo, ou seja, de como ele foi construído. A capacitância, fisicamente falando, mede a eficiência de um condutor em armazenar carga; sendo assim, quanto maior a capacitância de um condutor, mais carga ele conseguirá armazenar. Sua unidade no SI é o farad (

Exemplo 1: Capacitor de placas paralelas

Um capacitor de placas paralelas é composto por duas placas de área

Solução:

Para encontrarmos a capacitância do sistema, devemos saber a D.D.P entre as placas, e, para acharmos a D.D.P, precisamos do campo elétrico nessa região.

Como a distância

com

Daí, facilmente encontramos a capacitância do capacitor plano:

Perceba que ela depende apenas das propriedades geométricas (área e distância entre as placas) do sistema.

Exemplo 2: Capacitor esférico

O capacitor esférico é composto de duas cascas esféricas condutoras; uma interna, de raio

Solução: 

O campo elétrico na região "vazia" entre as duas cascas varia com a distância

Lembrando da definição de potencial, achamos a D.D.P. entre as cascas interna e externa:

A partir disso, achamos a capacitância do capacitor esférico:

Perceba que, no caso em que

como era de se esperar (aplique a definição de capacitância para uma esfera condutora e verifique!).

Exemplo 3: Capacitor cilíndrico

Um capacitor é composto de dois cilindros concêntricos de comprimento

Solução: Assim como no Exemplo 1, faremos uma aproximação: a de que os cilindros são muito longos. Essa aproximação nos permitirá determinar o campo no espaço entre os dois cilindros como função da distância radial, mediante a expressão para o campo de um fio infinito (é fácil ver que, para pontos externos a um cilindro muito longo, o campo se comporta da mesma forma que de um fio infinito, mas você provar sem dificuldades utilizando a lei de Gauss):

Com

E, com isso, encontramos a capacitância do capacitor cilíndrico:

Equilíbrio eletrostático entre condutores

Imagine

O Princípio da Conservação da Carga nos diz que:

Mas, como vale que

Logo, o potencial final é

uma média ponderada entre os potenciais e capacitâncias. Para corpos iguais de capacitância

Descobrimos, então, que no caso de corpos idênticos, a carga final é a mesma e igual a média aritmética das cargas iniciais (como havíamos discutido na Aula 5.0).

Energia potencial de um condutor (auto-energia)

Suponha que um condutor esteja inicialmente neutro, e desejamos adicionar a este uma carga

Ou, caso prefira, por meio da área embaixo do gráfico Potencial versus Carga. Sabemos que, em um condutor, a relação linear entre carga e potencial fornece o gráfico abaixo:

Figura 4: Gráfico do potencial versus carga para um condutor.

Logo, obtemos a energia potencial eletrostática do condutor calculando o valor numérico da área abaixo do gráfico (área do triângulo):

Para uma esfera condutora, por exemplo, para a qual

conforme havíamos achado na aula anterior utilizando outro método.

Capacitores com um dielétrico

Já estudamos o capacitor de placas paralelas; mas, agora, imagine que preenchamos o seu interior com um dielétrico: uma substância/material que possui uma permissividade

Onde

OBS.: Materiais dielétricos são isolantes. Porém, se um valor suficientemente alto de campo elétrico externo (a chamada rigidez dielétrica) for aplicado, as moléculas do material podem ser ionizadas, e este torna-se, assim, um condutor! Esse fenômeno é chamado de ruptura dielétrica e é o principal agente por trás de descargas elétricas nas nuvens, por exemplo.