Todos os arcos no círculo trigonométrico possuem determinações, isto é, tem origem e extremidade. Dois ou mais arcos podem ter a mesma determinação, mas não podemos garantir que eles possuam o mesmo comprimento, pois ocorre que eles podem possuir um número inteiro de voltas completas diferentes. Nesse caso devemos aplicar uma definição geral para representar arcos e todos os seus côngruos.
Se um arco mede α graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele da seguinte forma: α + 360º*k, k ? Z. Caso a medida do ângulo do arco seja dada em radianos, representamos por: α + 2π*k, k ? Z.
A determinação principal de um arco que mede α (graus ou radianos) é dada de acordo com as definições: 0º ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2π. No caso de um ângulo maior que 360º devemos realizar a divisão por 360º e considerar o resto o valor da determinação principal. O resultado da divisão mostrará quantas voltas o arco realizou. Observe:
Exemplo 1
Considerando o arco α = 2100º, qual será a sua determinação principal.
2100º : 360º = quociente 5 e resto igual a 300. Portanto, o arco possui determinação principal no 4º quadrante (300º), com 5 voltas completas.
Exemplo 2
Dado o arco 17π/4 rad, a sua determinação principal será:
17π/4 rad = 16π/4 + π/4 = 4π + π/4, onde:
4π
= corresponde a duas voltas completas
π/4 = determinação principal (45º – 1º quadrante)
Exemplo 3
Calcule a determinação principal do arco 26π/3 rad.
26π/3 rad = 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 2π/3 = 24π/3 + 2π/3 = 8π + 2π/3
8π = quatro voltas completas.
2π/3 = determinação principal (120º – 2º quadrante)
Exemplo 4
Determine a expressão geral dos arcos trigonométricos côngruos aos arcos de:
a) 3π/4 rad = 3π/4 + 2π * k, k ? Z
b) 75º = 75º + 360º * k, k ? Z
c) 14π/3 rad = 12π/3 + 2π/3
2π/3 + 2π * k, k ? Z
d) 1220º = 360º + 360º + 360º + 140º
140º + 360º * k, k ? Z
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de 1 a 8. Durante o jogo, a bo- linha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sen- tido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120°. Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto: a) B. b) D. c) E. X d) F. e) G. Inicialmente, a bolinha percorre 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A, che- gando em P’. A circunferência está dividida em 12 arcos com 30° cada um, portanto será necessário percorrer 4 desses arcos, pois 4 ∙ 30° = 120°. Assim, o percurso terminará no ponto F. F D B E A P P’ 1 2 3 4 5 6 7 8 H C O G 30 Volume 8 9. (UFPA) Para realizar os cálculos de um determinado experimento, um estudante necessita escrever a po- sição dos ponteiros de um relógio. Sabendo-se que o experimento se iniciará às três horas da tarde, é corre- to afirmar que a equação que descreve a medida (em graus) do ângulo que o ponteiro das horas forma com o semieixo vertical positivo (que aponta na direção do número 12 do relógio) em função do tempo decorrido (em minutos), contado a partir de três horas da tarde, é: a) (t) = 3+ 30t X b) θ( )t t= +90 1 2 c) θ( )t t= +3 1 30 d) θ( )t t= −90 30 e) θ( )t t= +30 1 2 30 I. Às 3 horas da tarde, o ponteiro das horas forma, com o semieixo vertical positivo, um ângulo de 90°. II. Como a cada 60 minutos o ponteiro das horas se desloca 30°, então a cada minuto ele se desloca 30 : 60 = 0,5°. Portanto, a equação que descreve a medida (em graus) do ângulo que o ponteiro das horas forma com o semieixo que aponta na direção do número 12 do relógio em função do tempo t decorrido (em minutos), contado a partir de três horas da tarde, é θ t t( ) = +90 1 2 . 10. (UFRR) Uma região de uma cidade possui o formato de um setor circular. Os pontos A, B e C são esquinas, a distância entre os pontos A e B é de 1 km e o ângulo formado pelas Ruas 1 e 2 é de 120º, conforme mostra a figura abaixo. João e Marcos desejam ir do ponto B para o ponto C. Para tanto, João percorreu as Ruas 1 e 2, passando inicialmente por A, enquanto Marcos se- guiu o trajeto da Rua 3. Podemos afirmar, considerando o valor de como 3,14 que João e Marcos percorre- ram, respectivamente, uma distância aproximada de: X a) 2 km e 2,09 km b) 2 km e 2 km c) 1 km e 2 km d) 2,09 km e 2,09 km e) 2 km e 1 km I. João percorreu as Ruas 1 e 2, passando por A. Portanto, ele percorreu 1 km para ir de B até A e 1 km para ir de A até C, o que totaliza 2 km. II. Marcos seguiu o trajeto da Rua 3, portanto: medida do arco comprimento km( ) ( )° ⋅ ⋅ = ⋅ = 360 2 1 120 360 120 2 360 240 π π ππ π = 240 360 2 09, km ℓ ℓ ℓ ℓ Marcos percorreu aproximadamente 2,09 km. 11. (FGV – SP) Em uma cidade do interior, a praça principal, em forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito. Admitindo uma ocu- pação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor estimativa do número de pessoas presentes ao comício é: x a) 70 mil b) 30 mil c) 100 mil d) 90 mil e) 40 mil I. Inicialmente, obtemos a medida do ângulo central da praça. medida do arco comprimento m( ) ( )° ⋅ ⋅ = 360 2 180 200 360 360 200 360 π α α π ππ α α π α ⋅ = ⋅ = ° 360 200 200 63 7, II. Com o valor da medida do ângulo central, obtém-se a área ocupada pela praça. ° π ⋅ π= ⋅ = ⋅ π 2 2 2 medida do arco ( ) área (m ) 360 180 63,7 x 360 32400 63,7 x 360 x 63,7 32400 x 18 001m Portanto, admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, estima-se a presença de 4 ∙ 18 001 = 72 004 pessoas presentes ao comício. Entre as alternativas apresentadas, a melhor estimativa é a do item a. Matemática 31 12. (FURG – RS) Dois atletas vão disputar uma corrida em uma pista com a forma ilustrada na figura a seguir. O percurso tracejado, a ser cumprido pelo atleta que corre na raia 1, inicia no ponto A e é formado pela semicircunfe- rência de centro O e diâmetro AB, pelo segmento de reta BC, pela semicircunferência de diâmetro CD e centro O’ e, finalmente, pelo segmento de reta DA. O trajeto a ser per- corrido pelo atleta que corre na raia 2 tem início no ponto P e é formado pelo arco PQ da circunferência com diâme- tro QT e centro O, pelo segmento de reta QR, pela semicir- cunferência de diâmetro RS e centro O’ e, finalmente, pelo segmento de reta ST. A chegada para o corredor da raia 1 é o ponto A e, para o atleta da raia 2, é o ponto T. Sabendo que AO = O’D = 25 metros, OT = O’S = 30 metros e BC = DA = QR = ST, para que os atletas percorram a mesma distância, o comprimento do arco TP deve ser igual a: a) 30 metros. b) 25 metros. c) 5 metros. d) 2 metros. X e) 10 metros. Inicialmente, sabe-se que os dois atletas percorrerão a mesma distância nas partes do percurso que são forma- das por linhas retas, pois BC = DA = QR = ST. O atleta da raia 1 percorre, além dos trajetos em linha reta, a semicircunferência de centro O e diâmetro AB e a semicircunferência de diâmetro CD e centro O’, o que resulta numa circunferência de raio 25 m. Assim, o total percorrido pelo atleta da raia 1 nesses dois trechos é C = 2 ∙ ∙ 25 = 50 metros. O atleta da raia 2 percorre, além dos trajetos em linha reta, o arco PQ da semicircunferência com diâmetro QT e cen- tro O e a semicircunferência de diâmetro RS e centro O’. Como ele precisa percorrer 50 metros nos trechos cur- vilíneos da pista, basta calcular o comprimento das duas semicircunferências: C = 2 ∙ ∙ 30 = 60 metros A diferença entre os dois percursos é de 60 – 50 = 10 metros. Portanto, para que os atletas percorram a mesma distância, o comprimento do arco TP deve ser igual a 10 metros. Circunferência trigonométrica 13. (ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atle- ta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. X d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas. 900 360 2 180 360 2 360 180 2 = + ⇒ ⋅ +º º voltas completas meia volta ��� � 14. Calcule a 1.ª determinação positiva dos arcos com as seguintes medidas: a) 140º A 1.ª determinação positiva é 140°, pois 0 < 140° < 360°. b) 870º 870 360 2 150 360 2 360 150 º º º º º º= + ⇒ ⋅ + A 1.ª determinação positiva é 150º. c) 1 260º 1260 360 3 180 360 3 360 180 º º º º º º= + ⇒ ⋅ + A 1.ª determinação positiva é 180º. d) –400º − = − + − ⇒ − ⋅ + − − + = 400 360 1 40 360 1 360 40 40 360 320 º º º º º ( º ) º º º A 1.ª determinação positiva é 320º. 32 Volume 8 e) –1 580º − = − + − ⇒ − ⋅ − − + = 1 580 360 4 140 360 4 360 140 140 360 220 º º º º º º º º º A 1.ª determinação positiva é 220º. f) 27 6 π rad 27 6 27 4 6 3 27 6 24 6 3 6 4 2 2 24 π π π π π π π → = ⋅ + = + = + ⇒ rad g) 22 4 π rad 4 22 4 22 4 4 6 22 4 16 4 6 4 4 3 2 3 2 16 π π π π π π π → = ⋅ + = + = + ⇒ rad h) 31 3 π rad 3 31 3 31 10 3 1 31 3 30 3 1 3 10 3 3 30 π π π π π π π → = ⋅ + = + = + ⇒ rad 15. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a cada um dos arcos da atividade anterior. a) 140° + k ∙ 360º ( )k b) 150° + k ∙ 360º ( )k c) 180° + k ∙ 360º ( )k d) 320° + k ∙ 360º ( )k e) 220° + k ∙ 360º ( )k f) π π 2 2+ ⋅ ∈k k( ) g) 3 2 2 π π+ ⋅ ∈k k( ) h) π π 3 2+ ⋅ ∈k k( ) 16. Considere o arco de 3 750º. a) Qual é a 1ª. determinação positiva dos seus arcos côngruos? 3 750 360 3 750 10 360 150